Question

Помогите срочно! В треугольнике MNK стороны NK=16 , MK =12, а центр окружности, проведенной через вершину M и середины сторон MN и NK, лежит на биссектрисе угла K. Найдите MN.

Answer 1

Решение в скане..............Надеюсь в арифметике не ошибся.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой биссектрисы.

Пусть центр окружности, проведенной через вершину M и середины сторон MN и NK, обозначается буквой O. Также обозначим точку пересечения биссектрисы угла K с отрезком MN через точку P.

Поскольку O лежит на биссектрисе угла K, то отрезок OP является биссектрисой угла K. Это означает, что отношение длин отрезков MP и PN равно отношению длин отрезков MK и NK:

MP / PN = MK / NK

Мы знаем, что MK = 12 и NK = 16, поэтому можем записать:

MP / PN = 12 / 16

Упростим это отношение:

MP / PN = 3 / 4

Теперь рассмотрим треугольник MNP. Из условия задачи известно, что MP является серединой стороны MN. Значит, отношение длин сторон MP и PN в треугольнике MNP также равно 3/4.

Так как MP является серединой стороны MN, то длина стороны MP в два раза меньше длины стороны MN:

MP = (1/2)MN

Подставим это выражение в отношение длин сторон MP и PN:

(1/2)MN / PN = 3 / 4

Умножим обе части равенства на PN:

(1/2)MN = (3/4)PN

Теперь заметим, что длина стороны PN равна разности длин сторон NK и KP:

PN = NK - KP

Мы знаем, что NK = 16, поэтому:

PN = 16 - KP

Подставим это выражение в уравнение:

(1/2)MN = (3/4)(16 - KP)

Упростим это уравнение:

MN/2 = 12 - (3/4)KP

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

MN = 24 - (3/2)KP

Теперь вернемся к треугольнику MNK. Заметим, что KP является серединой стороны NK. Значит, длина стороны KP в два раза меньше длины стороны NK:

KP = (1/2)NK

Подставим это выражение в уравнение:

MN = 24 - (3/2)(1/2)NK

Упростим это уравнение:

MN = 24 - (3/4)NK

Подставим известное значение