Question

Докажите что у ровнобедренной трапеции углы при основании ровны

Answer 1

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство.

Проведем СЕ !! АВ.

ABCD – параллелограмм (АВ !! СЕ, ВС !! AD).

CD = AB = CE, СDE – равнобедренный, СDЕ = СЕD.

АВ !! СЕ, тогда СЕD = ВАЕ, СDЕ = СЕD = ВАЕ.

ABC = 180° – СDЕ = 180° – ВАЕ = BCD.

этот знак (!!)- это паралельные прямые

Answer 2

Для доказательства этого факта рассмотрим ровнобедренную трапецию ABCD, где AB и CD - основания, BC и AD - боковые стороны, а M и N - середины боковых сторон BC и AD соответственно.

Так как AB и CD являются основаниями трапеции, они параллельны и равны друг другу (AB = CD).

Также из определения ровнобедренной трапеции известно, что боковые стороны BC и AD равны между собой (BC = AD).

Теперь рассмотрим треугольники AMC и BND.

В треугольнике AMC у нас есть следующие факты:

1. AC - общая сторона для треугольников AMC и BNC (они лежат на одной прямой AC);
2. AM = BM, так как M - середина BC;
3. Угол MAC = углу NBC, так как они являются вертикальными углами.

Аналогично, в треугольнике BND у нас есть следующие факты:

1. BD - общая сторона для треугольников BND и AND (они лежат на одной прямой BD);
2. DN = AN, так как N - середина AD;
3. Угол NBD = углу NAD, так как они являются вертикальными углами.

Таким образом, мы имеем два треугольника AMC и BND, у которых у нас совпадают две стороны и один угол (AC, AM = BC, BN и угол MAC = углу NBC для треугольника AMC; BD, DN = AD, AN и угол NBD = углу NAD для треугольника BND).

Согласно одной из теорем подобия треугольников (SAS - сторона-угол-сторона), треугольники AMC и BND подобны друг другу.

Из свойств подобных треугольников следует, что соответствующие углы этих треугольников равны.

Таким образом, углы при основаниях трапеции ABCD (угол MAC и угол NBD) являются равными, что и требовалось доказать.