Question

в равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Расстояние от точки D до прямой AC равно 6 см.Найти расстояние от вершины A до прямой BC

Answer 1

Отрезок = 6см лежит против угла 30⇒ гипотенуза = 12 ( это и есть расстояние от А до ВС

Answer 2

Поскольку треугольник ABC является равносторонним, то биссектриса AD является высотой, медианой и биссектрисой треугольника одновременно.

Обозначим точку пересечения биссектрисы AD с прямой BC через точку E. Тогда, по свойству биссектрисы, BD = DC, и треугольник ABD равен треугольнику ACD. Следовательно, AD является медианой и высотой треугольника ABC, а угол BAC является прямым.

Пусть H - это точка пересечения высоты AD с стороной BC. Тогда AH является высотой треугольника ABC, а треугольники AHD и AHE являются прямоугольными.

Расстояние от вершины A до прямой BC равно расстоянию от точки H до прямой BC. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AHD:

AD^2 = AH^2 + DH^2

6^2 = AH^2 + DH^2

36 = AH^2 + DE^2

36 = AH^2 + (BD - BE)^2

36 = AH^2 + (BC/2 - BE)^2

36 = AH^2 + (BC/2)^2 - BC*BE + BE^2

Но мы знаем, что треугольник AHE подобен треугольнику ABC, поскольку угол A является общим, а углы ABC и AHE являются прямыми, и углы B и HEA являются соответственными. Следовательно, HE/BC = AH/AB = 1/2, и HE = BC/2 - BE.

Подставляя это значение в предыдущее уравнение, получим:

36 = AH^2 + (BC/2)^2 - BC*BE + (BC/2 - BE)^2

36 = AH^2 + BC^2/4 - BC*BE + BE^2

36 = AH^2 + BC^2/4 - BCBE + BC^2/4 - BCBE + BE^2

36 = AH^2 + BC^2/2 - 2BCBE + BE^2

Так как треугольник ABC равносторонний, то BC = AB = AC, и мы можем подставить значение BC = 2AH в уравнение:

36 = AH^2 + (2AH)^2/2 - 2*(2AH)*BE + BE^2

36 = AH^2 + 2AH^2 - 4AH*BE + BE^2

0 = 3AH^2 - 4AH*BE + BE^2 - 36

Это квадратное уравнение относительно AH. Решая