Question

Медианы треугольника ABC пересекаются в точке O. Через точку O проведена прямая,параллельная стороне AC и пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. Найдите EF,если AC равна 15 см.

Answer 1

Отрезок EF отнюдь не является средней линией треугольника! Есть теорема: каждая медиана треугольника делится точкой их пересечения на 2 части, длины которых относятся как 2:1. То есть отрезок ВО в 2 раза больше отрезка ОD. Рассмотрим два треугольника: основной АВС и верхний EBF. Ясно, что они подобны. Всем известно, что в подобных треугольниках отношение длин сторон одного тр-ка к сторонам другого тр-ка - постоянная величина.. Но это же относится и к другим отрезкам, не только к сторонам. В частности, к медианам. Легко увидеть, чему равно отношение медиан ВО/ВD = 2/3. Значит, и отношение оснований такое же: 
EF / 15 = 2/3 
Отсюда EF = 10 см.

Как то так :3

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством медиан треугольника. Медиана, проведенная из вершины треугольника, делит противолежащую сторону пополам и проходит через точку пересечения медиан.

Так как медианы треугольника ABC пересекаются в точке O, то отрезок EO является медианой треугольника ABC и делит сторону AB пополам. Это означает, что AE = EB.

Также, так как EF || AC, согласно свойству пропорциональности сторон параллельных треугольников, можно записать следующее:

AE/AB = OC/AC

Так как AE = EB и AC = 15 см, можно записать:

EB/AB = OC/15

Теперь рассмотрим треугольник BOC. Он подобен треугольнику ABC, так как у них две пары соответственных углов равны (по свойству параллельных прямых). Таким образом, можно записать:

OC/BC = AB/AC

Заметим, что AB/AC = 1/2, так как медиана делит сторону AB пополам. Тогда:

OC/BC = 1/2

Обратим внимание, что OC = EO, так как они являются медианами треугольника ABC и пересекаются в точке O. Поэтому:

EO/BC = 1/2

Из двух уравнений:

EB/AB = EO/15 EO/BC = 1/2

Мы можем выразить EB и BC через EO, подставить их во второе уравнение и решить систему уравнений. После нахождения EO, мы сможем найти EF, так как EF = 2EO (согласно уравнению EO/BC = 1/2).

Но у нас нет данных о значениях медиан треугольника ABC, поэтому без дополнительной информации мы не сможем найти точное значение EF.