Question

Является ли членом последовательности аn=n^2+2n+1 289? 1000?

Answer 1

Проверяем 289
n^2+2n+1=289
n^2+2n-288=0
D=4+4*288=1156
√D=34
n1=16, n2=-18 (n2 отбрасываем) 
289 является 16-ым членом последовательности
проверяем 1000
n^2+2n+1=1000
n^2+2n-999=0
D=4+4*999=4000
√D - иррациональный, значит 1000 не является членом последовательнсти

Answer 2

Для определения, являются ли числа 289 и 1000 членами последовательности $a_n = n^2 + 2n + 1$, необходимо найти значения $n$, при которых это равенство выполняется.

Для значения 289: $a_n = n^2 + 2n + 1 = 289$ Решим квадратное уравнение: $n^2 + 2n + 1 - 289 = 0$ $n^2 + 2n - 288 = 0$ Факторизуем это уравнение: $(n + 18)(n - 16) = 0$ Таким образом, возможны два значения $n$: -18 и 16.

Для значения 1000: $a_n = n^2 + 2n + 1 = 1000$ Решим квадратное уравнение: $n^2 + 2n + 1 - 1000 = 0$ $n^2 + 2n - 999 = 0$ Данное уравнение не может быть факторизовано на целые множители, поэтому для нахождения решений можно использовать квадратное уравнение: $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Применяя формулу, получим: $n = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-999)}}{2(1)}$ $n = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 3996}}{2}$ $n = \frac{-2 \pm \sqrt{4000}}{2}$ $n = \frac{-2 \pm 20\sqrt{10}}{2}$ $n = -1 \pm 10\sqrt{10}$ Таким образом, существует два возможных значения для $n$: $-1 + 10\sqrt{10}$ и $-1 - 10\sqrt{10}$.

Итак, 289 является членом последовательности $a_n = n^2 + 2n + 1$ при $n = -18$ и $n = 16$, а 1000 не является членом этой последовательности.