Question

Даны вершины пирамиды A(-4,-5,-3),B(3,1,2),C(5,7,-6),D(6,-1,5).Нужно найти высоту пирамиды опущенную из вершины B

Answer 1

Уравнение ADC

ax+by+cz+d =0

подставляем координаты точек A C D

-4a-5b-3c+d=0

5a+7b-6c+d=0

6a-b+5c+d=0

Пусть d=55  Тогда a= -18 b=17 c=14

уравнение ADC

-18x+17y+14z+55=0

нормализованное уравнение ADC

k=√(18^2+17^2+14^2)=√809

-18x/k+17y/k+14z/k+55/k=0

Подставляем B в нормализованное уравнение

Высота = (-18*3+17+14*2+55)/k= 46/√809

Answer 2

Для нахождения высоты пирамиды, опущенной из вершины B, нам понадобится знать основание пирамиды, а именно треугольник ABC.

Для начала, вычислим векторы AB, AC и AD, соединяющие вершину B с вершинами основания:

AB = B - A = (3, 1, 2) - (-4, -5, -3) = (3 + 4, 1 + 5, 2 + 3) = (7, 6, 5) AC = C - A = (5, 7, -6) - (-4, -5, -3) = (5 + 4, 7 + 5, -6 + 3) = (9, 12, -3) AD = D - A = (6, -1, 5) - (-4, -5, -3) = (6 + 4, -1 + 5, 5 + 3) = (10, 4, 8)

Теперь найдём нормальный вектор к основанию пирамиды, который будет перпендикулярен плоскости, образуемой векторами AB и AC. Для этого вычислим их векторное произведение:

n = AB x AC

n = (7, 6, 5) x (9, 12, -3)

n = ((6 * -3) - (5 * 12), (5 * 9) - (7 * -3), (7 * 12) - (9 * 6))

n = (-18 - 60, 45 + 21, 84 - 54)

n = (-78, 66, 30)

Теперь найдём уравнение плоскости, проходящей через треугольник ABC, используя уравнение плоскости в общем виде Ax + By + Cz + D = 0. Для этого мы можем использовать одну из вершин треугольника, например, вершину A:

-78x + 66y + 30z + D = 0

Затем, найдём значение константы D, подставив координаты вершины A в уравнение:

-78(-4) + 66(-5) + 30(-3) + D = 0

312 - 330 - 90 + D = 0

D = 108

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через треугольник ABC, имеет вид:

-78x + 66y + 30z + 108 = 0

Наконец, чтобы найти высоту пирамиды, опущенную из вершины B, нам нужно найти расстояние от вершины B до этой плоскости. Формула для вычисления расстояния между точкой (x₀, y₀, z₀) и плоскостью Ax + By + Cz