Question

Окружности, длины радиусов которых равны 2 см и 4 см внешним образом касаются в точке О. Общая касательная двух окружностей проходит через точку О и пересекает другую общую касательную в точке Р. Вычислите расстояние между точками О и Р.

Answer 1

Пусть центры окружностей будут М и Н, точки касания их со второй касательной А и В. 
Центр окружности М лежит на биссектрисе угла АРО, центр окружности Н лежит на биссектрисе угла ВРО. 
Т.к. угол АРВ-  развернутый и равен 180º, угол МРН=180º:2=90º.
В прямоугольном треугольнике МРН высота есть среднее геометрическое между отрезками гипотенузы, на которые она делится высотой. 
РО=√(МО*ОН)=√2*4= 2√2

Answer 2

Чтобы решить данную задачу, воспользуемся свойствами касательных к окружностям.

Пусть A и B - центры окружностей радиусами 2 см и 4 см соответственно, а О - точка касания этих окружностей. Проведём линии ОА и ОВ до точек пересечения с общей касательной в точках Р и Q соответственно.

По свойству касательной, линия ОА будет перпендикулярна касательной в точке О, аналогично с линией ОВ.

Теперь рассмотрим треугольник ОАР. Мы знаем, что ОА - радиус окружности радиусом 2 см, поэтому его длина равна 2 см. Треугольник ОАР - прямоугольный, поскольку ОА перпендикулярна касательной в точке О. Значит, мы можем применить теорему Пифагора:

(ОР)² = (ОА)² + (АР)².

Мы знаем длину ОА (2 см), поэтому осталось найти длину АР. Заметим, что треугольник ОАВ подобен треугольнику ОРВ, поскольку угол ОВА в обоих треугольниках прямой, и углы ОВР и ОАР являются соответственными углами при равных сторонах.

Используем свойство подобных треугольников:

(ОР)/(ОА) = (ОВ)/(ОА+АВ).

Подставим известные значения:

(ОР)/2 = 4/(2+АВ).

АВ - это радиус окружности радиусом 2 см, поэтому АВ = 2 см.

(ОР)/2 = 4/(2+2).

(ОР)/2 = 4/4.

(ОР)/2 = 1.

ОР = 2 см.

Таким образом, расстояние между точками О и Р равно 2 см.