Question

Сформулируйте и докажите теорему  о вычислении площади параллелограмма.

Answer 1

Sabcd=a*h ( Площадь паралелограмма равна произведению его основания на высоту)
Если BF и CM - перпендикуляры к прямой AD, то треугольник ABF=треугольнику DCE
(так как AB=DC и проекция AF=DM). Поэтому площади этих треугольников равны. Площадь паралеллограмма ABCD равна сумме двух фигур: треугольника ABF (равного треугольникуDCM) и трапеции FBCD. Значит, если от площади ABCD вычесть площадь треугольника ABF, получим площадь трапеции FBCD. Тогда площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника FBCM. А стороны этого прямоугольника равны BC=AD=а и BF=h.
S ABCD = AD•BF=a•h.

Answer 2

Теорема о вычислении площади параллелограмма гласит: площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм ABCD.

Проведем высоту CH, которая перпендикулярна стороне AB. Пусть h обозначает длину этой высоты.

Так как CH перпендикулярна AB, то треугольники ACH и BCH являются прямоугольными. Также, по определению параллелограмма, сторона AD параллельна стороне BC, поэтому треугольники ADC и BCD также являются прямоугольными.

Таким образом, у нас есть четыре прямоугольных треугольника: ACH, BCH, ADC и BCD.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить, используя формулу: S = (1/2) * a * b, где a и b - длины катетов.

В нашем случае:

Площадь треугольника ACH: S1 = (1/2) * AC * CH Площадь треугольника BCH: S2 = (1/2) * BC * CH Площадь треугольника ADC: S3 = (1/2) * AD * CH Площадь треугольника BCD: S4 = (1/2) * BC * CH

Суммируем площади всех четырех треугольников:

S_total = S1 + S2 + S3 + S4 = (1/2) * AC * CH + (1/2) * BC * CH + (1/2) * AD * CH + (1/2) * BC * CH = (1/2) * (AC + AD) * CH + (1/2) * (BC + BC) * CH = (1/2) * (AC + AD + BC + BC) * CH = (1/2) * (AC + BC + AD + DC) * CH = (1/2) * (AC + BC) * CH

Обратим внимание, что AC + BC является длиной основания параллелограмма.

Таким образом, получаем:

S_total = (1/2) * (AC + BC) * CH

Но CH является высотой, проведенной к стороне AB, а (AC + BC) является длиной этой стороны.

Таким образом, получаем окончательную формулу для площади параллелограмма:

S = (длина стороны) * (высота, проведенная к