Question

Отрезок АС — ортогональная проекция наклонной АВ на плоскость АСD. Лучи АD и АС образуют угол 30°. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью АСD, если угол между прямыми АВ и АD равен 60°.

Answer 1

АС - проекция АВ на плоскость ACD, значит ∠ВАС - угол между прямой АВ и плоскостью ACD, искомый. Обозначим его β.

Проведем СН⊥AD, СН - проекция ВН на плоскость (ACD), значит
ВН⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.

ΔВАС: ∠ВСА = 90°,
           cos∠β = AC / AB
ΔBAH: ∠BHA = 90°,
           cos∠α = AH / AB    ⇒   AB = AH / cos∠α
ΔAHC: ∠AHC = 90°,
           cos∠γ = AH / AC    ⇒   AC = AH / cos∠γ

cos∠β = (AH / cos∠γ) / (AH / cos∠α) = cos∠α / cos∠γ
cos∠β = cos 60° / cos 30° = 1/2 / (√3/2) = 1/√3

∠BAC = arccos(1/√3)

Здесь доказана теорема о трех косинусах:
Косинус угла между наклонной и прямой, лежащей в плоскости, равен произведению косинуса угла между наклонной и плоскостью на косинус угла между проекцией и этой прямой.
cosα = cosβ · cosγ