Question

Функции спроса и предложения имеют соответственно вид: D(p)=100x4p; S(p)=40x+x2p, где р – цена товара (услуги), х некоторый технологический параметр. Равновесная цена определяется равенством спроса и предложения. Найти значение величины х, при котором равновесная цена будет наибольшей, если: а) 1≤ х ≤ 5; б) 3 ≤ х ≤ 6.

Answer 1

100х-4р=40х+х*2p
60x-4p-2xp=0
x(60-2p)-4p=0
a) x=1   60-6p=0    p=60/6    p=10
    x=5   300-14p=o   p=300/14     p=21.43
b)  x=3  180-10p=0    p=180/10    p=18
    x=6   360-16p=0  p=360/16      p=22.5
При 3≤х≤6 потому что 18≤р≤22.5 равновесная цена наибольшая
ответ Б

Answer 2

Чтобы найти значение величины x, при котором равновесная цена будет наибольшей, мы должны найти цену (p), при которой спрос (D(p)) и предложение (S(p)) будут равны. То есть, нам нужно решить уравнение D(p) = S(p) для каждого из интервалов х:

а) 1 ≤ х ≤ 5:

D(p) = 100 * 4 * p S(p) = 40 * x + x^2 * p

Уравнение равновесия: 100 * 4 * p = 40 * x + x^2 * p

Раскроем скобки:

400p = 40x + x^2p

Теперь выразим p:

400p - x^2p = 40x

p(400 - x^2) = 40x

p = 40x / (400 - x^2)

Теперь, чтобы найти значение х, при котором p будет наибольшей, мы можем найти производную p по x и приравнять ее к нулю:

dp/dx = (40 * (400 - x^2) - 2x * 40x) / (400 - x^2)^2 = 0

Упростим это уравнение:

(40 * (400 - x^2) - 80x^2) / (400 - x^2)^2 = 0

Теперь умножим обе стороны на (400 - x^2)^2, чтобы избавиться от знаменателя:

40 * (400 - x^2) - 80x^2 = 0

Раскроем скобки:

16000 - 40x^2 - 80x^2 = 0

-120x^2 = -16000

Теперь делим обе стороны на -120:

x^2 = 16000 / 120 x^2 = 133.33

Извлекая корень:

x ≈ √133.33 x ≈ 11.55

Таким образом, наибольшая равновесная цена достигается при x ≈ 11.55 в интервале 1 ≤ x ≤ 5.

б) 3 ≤ х ≤ 6:

Для этого интервала мы можем использовать те же шаги:

D(p) = 100 * 4 * p S(p) = 40 * x + x^2 * p

Уравнение равновесия: 100 * 4 * p = 40 * x + x^2 * p

Раскроем скобки:

400p = 40x + x^2p

Теперь выразим p:

400p - x^2p = 40x

p(400 - x^2) = 40x

p = 40x / (400 - x^2)

Теперь, чтобы найти значение x, при котором p будет наибольшей, мы можем использовать производную, как и в предыдущем случае. Но теперь x находится в интервале 3 ≤ x ≤ 6:

dp/dx = (40 * (400 - x^2) - 2x * 40x) / (400 - x^2)^2

Повторите вычисления, как в предыдущем случае, и найдите значение x, которое соответствует наибольшей равновесной цене в этом интервале.