Question

Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хороду AB в точке D и перпендикулярен ей, найдите длину хорды AC, если BD =1 см, а радиус окружности равен 5 см

Answer 1

Давайте обозначим радиус окружности как \(R\) (в данном случае \(R = 5\) см), длину хорды \(BD\) как \(d\) (в данном случае \(d = 1\) см), а длину хорды \(AC\) как \(x\).

Исходя из условия, мы знаем, что хорда \(BD\) является высотой, проведенной из центра окружности \(O\) и перпендикулярной к хорде \(AB\).

Сначала найдем длину отрезка \(OD\). Поскольку хорда \(BD\) является высотой, то треугольник \(OBD\) - прямоугольный треугольник. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[ OD^2 + BD^2 = OB^2 \]

Подставим известные значения:

\[ OD^2 + 1^2 = 5^2 \]

\[ OD^2 + 1 = 25 \]

\[ OD^2 = 24 \]

\[ OD = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

Теперь у нас есть длина отрезка \(OD\). Рассмотрим треугольник \(OAD\). Мы знаем, что \(OD\) - это радиус окружности, а также, что \(OD\) перпендикулярен хорде \(AC\).

Таким образом, \(OD\) является высотой треугольника \(OAD\), и мы можем воспользоваться подобием треугольников:

\[\frac{OD}{OA} = \frac{AC}{AD}\]

Подставим значения:

\[\frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{x}{R}\]

\[\frac{2\sqrt{6}}{5} = \frac{x}{5}\]

\[2\sqrt{6} = x\]

Таким образом, длина хорды \(AC\) равна \(2\sqrt{6}\) см.