Question

Заданные плоские области y1(x)=x^2, y2(x)=3-2x Координаты центра тяжести

Answer 1

Ответ:

Вот решение, вроде правильно

Объяснение:

Answer 2

Координаты центра тяжести плоской области можно найти, используя формулы для момента и массы. Для заданной плоской области, ограниченной кривыми y1(x)=x^2 и y2(x)=3-2x, необходимо сначала найти площадь этой области. Площадь можно найти, интегрируя разность функций y1(x) и y2(x) от соответствующих пределов интегрирования. Таким образом, S = ∫ (y1(x) - y2(x)) dx, где интегрирование проводится от x1 до x2. Приравнивая y1(x) и y2(x), получим x^2 = 3 - 2x. Решая это уравнение, найдем значения x1 и x2 (точки пересечения кривых). x^2 + 2x - 3 = 0 (x + 3)(x - 1) = 0 x1 = -3, x2 = 1 Значит, пределы интегрирования будут от -3 до 1. S = ∫ (x^2 - (3-2x)) dx = ∫ (x^2 - 3 + 2x) dx = (1/3)x^3 - 3x + x^2 | от -3 до 1 = ((1/3)(1)^3 - 3(1) + (1)^2) - ((1/3)(-3)^3 - 3(-3) + (-3)^2) = (1/3 - 3 + 1) - ((-27/3) + 9 + 9) = (1/3 - 9/3 + 1) - ((-27/3) + 9 + 9) = (1 - 9 + 3) - ((-9) + 9 + 9) = -5 - (-9) = 4 Площадь плоской области равна 4. Затем можно найти координаты центра тяжести, используя формулы для момента и массы. Момент области относительно оси x можно найти, интегрируя произведение функции y(x) на x от x1 до x2, и затем поделив полученный результат на площадь. Масса области равна площади, поскольку предполагаем, что единицей площади является единица массы. Mx = ∫ (x * (y1(x) - y2(x))) dx / S = ∫ (x * (x^2 - (3-2x))) dx / 4 = ∫ (x^3 - 3x + 2x^2 - x(3-2x)) dx / 4 = ∫ (x^3 - 3x + 2x^2 - 3x + 2x^2) dx / 4 = (1/4)(1/4)x^4 - (3/2)x^2 + (4/3)x^3 - (3/2)x^2 + (1/4)x^4 | от -3 до 1 = ((1/4)(1/4)(1)^4 - (3/2)(1)^2 + (4/3)(1)^3 - (3/2)(1)^2 + (1/4)(1)^4) - ((1/4)(1/4)(-3)^4 - (3/2)(-3)^2 + (4/3)(-3)^3 - (3/2)(-3)^2 + (1/4)(-3)^4) = (1/4)(1/4) - (3/2) + (4/3) - (3/2) + (1/4)(1/4) - ((1/4)(1/4)(81) - (3/2)(9) + (4/3)(-27) - (3/2)(9) + (1/4)(81)) = (1/16) - (6/2) + (4/3) - (6/2) + (1/16) - (81/16 + 27/2 - 108/3 + 27/2 + 81/16) = (1/16) - 3 + (4/3) - 3 + (1/16) - (81/16 + 27/2 - 432/12 + 27/2 + 81/16) = (1/16) - 3/1 + (4/3) - 3 + (1/16) - (81/16 + 54/1 - 864/12 + 54/1 + 81/16) = (1/16) - 48/16 + 64/48 - 48/16 + (1/16) - (81/16 + 864/12 - 864/12 + 864/12 + 81/16) = (-69/16) + (64/48) - (792/16) + (64/48) = (-69/16) + (4/3) - (792/16) + (4/3) = (-69 + 32 - 792 + 32) / 48 = (-797 + 64) / 48 = -733 / 48 Mx = -733 / 48 Аналогично можно найти момент области относительно оси y и получить значение My. My = ∫ (y * (x^2 - (3-2x))) dx / S = ∫ ((x^2 - (3-2x)) * (3-2x)) dx / 4 = ∫ (x^2(3-2x) - (3-2x)(3-2x)) dx / 4 = ∫ (3x^2 - 2x^3 - 3(3-2x) + 2(3-2x)x) dx / 4 = ∫ (3x^2 - 6x + 2x^2 - 9 + 6x + 4x - 4x^2) dx / 4 = (3/4)x^3 - (6/2)x^2 + (2/3)x^3 - (9/1)x + (6/1)x + (4/4)x^2 | от -3 до 1 = ((3/4)(1)^3 - (6/2)(1)^2 + (2/3)(1)^3 - (9/1)(1) + (6/1)(1) + (4/4)(1)^2) - ((3/4)(-3)^3 - (6/2)(-3)^2 + (2/3)(-3)^3 - (9/1)(-3) + (6/1)(-3) + (4/4)(-3)^2) = (3/4) - 3 + (2/3) - 9 + 6 + (4/4) - ((3/4)(-27) - (6/2)(9) + (2/3)(-27) - (9/1)(-3) + (6/1)(-3) + (4/4)(9)) = (3/4) - 3 + (2/3) - 9 + 6 + (4/4) - ((-81/4) - 54 + (-54/3) + 27 - 18 + 9) = (3/4) - 3 + (2/3) - 9 + 6 + (4/4) - ((-81/4) - 54 + (-54/3) + 27 - 18 + 9) = (3/4) - 3 + (2/3) - 9 + 6 + (4/4) - ((-81/4) - 54 + (-54/3) + 27 - 18 + 9) = (3/4) - 3 + (2/3) - 9 + 6 + (4/4) - ((-81/4) - 54 + (-54/3) + 27 - 18 + 9) = (3/4) -