Question

Последовательность чисел задается следующими формулами: A1 = 3; A2=5; An = 2*Fn-1+ Fn-2. Найдите наименьшее целое n, при котором Аn будет больше одного миллиона. В ответе укажите целое число без пробелов и знаков препинания, например, 17

Answer 1

Решено, исходные данные:
a(1)=0 a(2)=1
a(n+2)=a(n+1)-a(n)
Найди a(885)
Внимание: скобка означает число в нижнем индексе.
Решаем, исходим сразу от наибольшего числа:
a(885)=a(884)-a(883)=a(883)-a(882)-a(883)=a(882)
В чем фокус-покус. Сначала мы применили формулу по отношению к числуa(885), а потом к числу a(884), из чего получилось равенство a(885)=a(882)
Тем самым, мы можем утверждать, что числа в последовательностях будут совпадать каждые 885-882=3 раза. 885 кратно 3, следовательно ищем наименьшее общее кратное число, оно равно 3. Следовательно a(885)=a(3)
Находим a(3) из формулы: a(3)=a(2)-a(1)=1-0=1, следовательно a(885)=1

Answer 2

Для нахождения наименьшего целого n, при котором An будет больше одного миллиона, мы можем использовать итерацию и вычислять An до тех пор, пока An не станет больше 1 миллиона.

Начнем с n = 3 (поскольку нам уже известны A1 и A2) и будем вычислять An с помощью заданных формул до тех пор, пока An не превысит 1 миллион.

A3 = 2A2 + A1 = 25 + 3 = 13 A4 = 2A3 + A2 = 213 + 5 = 31 A5 = 2A4 + A3 = 231 + 13 = 75 A6 = 2A5 + A4 = 275 + 31 = 181 A7 = 2A6 + A5 = 2181 + 75 = 437 A8 = 2A7 + A6 = 2437 + 181 = 1055 A9 = 2A8 + A7 = 21055 + 437 = 2539 A10 = 2A9 + A8 = 22539 + 1055 = 6113 A11 = 2A10 + A9 = 26113 + 2539 = 14665 A12 = 2A11 + A10 = 214665 + 6113 = 35043 A13 = 2A12 + A11 = 235043 + 14665 = 84251 A14 = 2A13 + A12 = 284251 + 35043 = 202787 A15 = 2A14 + A13 = 2202787 + 84251 = 487825 A16 = 2A15 + A14 = 2487825 + 202787 = 1173163

Таким образом, наименьшее целое n, при котором An будет больше одного миллиона, это n = 16.