Question

1. Некоторый алгоритм из одного числа получает новое число следующим образом. Сначала записывается исходное число, а затем к нему приписываются цифры исходного числа в обратном порядке, а в конец числа дописывается столько единиц, сколько нечётных цифр в числе. Получившееся число является результатом работы алгоритма. Дано число 33. Сколько единиц будет содержаться в итоговом числе, если к исходному числу применить описанный алгоритм трижды (т. е. применить алгоритм к данному числу, а затем к результату вновь применить алгоритм и т. д.)?

Answer 1

1) 33 ⇒ 333311

2) 333311 ⇒ 333311113333111111

3) 333311113333111111 ⇒ 333311113333111111111111333311113333

Заметим, что в исходном числе все цифры нечетные и после любого приписывания все цифры будут нечетными (т.к. 1 - нечетна)

Т.е. при каждой работе алгоритма длин числа будет увеличиваться в три раза (само число, перевернутое и единицы по длине равные самому числу).

Соответственно после третьего применения алгоритма длина числа будет: 2 * 3 * 3 * 3 = 54

Выясним сколько среди них будет единиц. При каждом применении алгоритма количество троек будет увеличиваться в два раза (тройки самого числа и перевернутого).

Значит троек в конце будет: 2 * 2 * 2 * 2 = 16

Соответственно единиц будет 54 - 16 = 38

Answer 2

Давайте выполним описанный алгоритм для числа 33 и узнаем результат после трех применений.

Шаг 1: Начальное число - 33. Приписываем цифры в обратном порядке: 3333. Количество нечётных цифр в числе 33 - 2 (3 и 3). Дописываем 2 единицы в конец числа.

Результат шага 1: 333312.

Шаг 2: Теперь применим алгоритм к числу, полученному на предыдущем шаге - 333312.

Приписываем цифры в обратном порядке: 333312213333. Количество нечётных цифр в числе 333312 - 4 (3, 3, 1 и 3). Дописываем 4 единицы в конец числа.

Результат шага 2: 3333122133331111.

Шаг 3: Применим алгоритм к числу, полученному на предыдущем шаге - 3333122133331111.

Приписываем цифры в обратном порядке: 3333122133331111211113333321233213333331111. Количество нечётных цифр в числе 3333122133331111 - 16 (3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3 и 1). Дописываем 16 единиц в конец числа.

Результат шага 3: 333312213333111121111333332123321333333111111111111111111111111.

Итак, после трех применений алгоритма к числу 33, итоговое число будет содержать 28 единиц.