Question

Есть 2019 одинаковых по виду монет и чашечные весы без гирек. Среди монет есть одна фальшивая, которая по весу отличается от настоящей. За какое наименьшее число взвешиваний можно определить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая?

Answer 1

Ответ:

За 2 взвешивания

Объяснение:

Очевидно, за одно взвешивание определить не получится, поскольку не понятно, на какой из чаш лежит фальшивая монета или её ещё не взвешивали.

Вот как определить за 2 взвешивания. Разделим монеты на 3 группы по 673 монет, назовем группы 1, 2 и 3. Первым взвешиванием сравним массы групп 1 и 2, вторым - группы 1 и 3. Веса групп, содержащих только подлинные монеты, должны быть одинаковы.

• Если оба раза группа 1 была тяжелее или легче, то фальшивая монета в группе 1 и она, соответственно, тяжелее или легче настоящей
• Если какое-то взвешивание показало равенство, то обе группы содержат только настоящие монеты. Если оставшаяся группа тяжелее одной из них, то фальшивая монета тяжелее настоящей, в противном случае - легче.

Answer 2

Для определения того, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая, потребуется только одно взвешивание на чашечных весах.

Предположим, что мы разделим все монеты на три группы: A, B и C. Пусть в первых двух группах (A и B) у нас будет одинаковое количество монет, например, по 67 монет каждая, а в третьей группе (C) у нас останется 67 монет.

1. Первое взвешивание: положим на чашечные весы группы A и B.

   • Если весы сбалансированы (ровно одинаковый вес на обеих сторонах), это значит, что фальшивая монета находится в группе C.
   • Если весы несбалансированы, например, группа A весит больше, чем группа B, то это означает, что фальшивая монета находится в группе A (где больший вес).

2. Второе взвешивание: Возьмем группу, в которой была обнаружена разница в весе (A или C) и разделим ее на две равные подгруппы (33 монеты каждая) - пусть это будут группы D и E.

   • Если весы сбалансированы, то фальшивая монета находится в оставшейся группе (C или A, соответственно). Оставшиеся монеты в этой группе составляют всего 34 монеты.
   • Если весы несбалансированы, например, группа D весит больше, чем группа E, то это значит, что фальшивая монета находится в группе D (где больший вес). В группе D останется 33 монеты.

3. Третье взвешивание (для оставшейся группы из 34 или 33 монет): Разделим эту группу на две равные подгруппы и положим их на весы. Это позволит определить, какая из оставшихся монет легче или тяжелее (фальшивая монета).

Таким образом, для определения легче или тяжелее фальшивая монета потребуется только три взвешивания на чашечных весах.