Question

Задача 3. Гирьки Есть чашечные весы без делений. Для взвешивания груза также можно использовать гирьки, массы которых – целое число граммов. Вам необходимо предложить набор гирек, при помощи которого можно отмерить на весах любую массу, равную целому числу граммов от 1 до 40. Гирьки можно класть на каждую чашку весов, чашки весов должны находиться в равновесии, при этом на одной из чашек весов должен находиться взвешиваемый груз. Массы гирек в наборе могут повторяться. Например, при помощи трёх гирек массами 1, 1 и 5 граммов можно отмерить любую целочисленную массу от 1 до 7 граммов по следующей схеме (x – взвешиваемая масса): 1 грамм: x = 1, 2 грамма: x = 1 + 1, 3 грамма: x + 1 + 1 = 5, 4 грамма: x + 1 = 5, 5 граммов: x = 5, 6 граммов: x = 5 + 1, 7 граммов: x = 5 + 1 + 1. Ответом на эту задачу являются несколько целых чисел, записанных через пробел, – массы гирек, при помощи которых можно отмерить любую целочисленную массу от 1 до 40. В наборе должно быть не более 8 чисел. Числа в наборе могут повторяться. Чем меньше гирек будет в предложенном наборе, тем больше баллов вы получите, при условии, что, используя гирьки из данного набора, можно отмерить каждую целочисленную массу от 1 до 40.

Answer 1

Пусть выбраны гирьки с массами M1, M2, ..., Mn и ими удалось массу X. 

Тогда имеет место равенство X = a1 * M1 + a2 * M2 + ... + an * Mn,
где ai = 0, если i-ая гирьке не участвовала в взвешиваниях, -1, если лежала на той же чаше весов, что и масса, которкю нужно отмерить, и +1, если на другой чаше весов. 

Каждый из коэффициентов принимает одно из трёх значений, тогда при помощи n гирек можно отмерить не более, чем 3^n различных масс. 3^3 < 40 + 1 < 3^4, значит, гирек нужно не менее четырёх. 

Докажем, что взяв гирьки с массами 1, 3, 9 и 27, можно отмерить любую массу от 1 до 40. Будем это делать по индукции, доказав, что при помощи гирек 1, 3, 9, ..., 3^k можно отмерить любую массу от 1 до (3^k - 1)/2.

База индукции. При помощи одной гирьки массой 1 действительно можно отмерить массу 1.
Переход. Пусть для k = k' всё доказано. Докажем и для k = k' + 1.
- Если нужно отмерить массу X <= (3^k' - 1)/2, то это можно сделать при помощи k' гирек. 
- Пусть надо отмерить массу (3^k' - 1)/2 < X <= (3^(k' + 1) - 1)/2. Кладём на другую чашу весов гирьку массой 3^k'. Тогда остаётся нескомпенсированная масса |X - 3^k'| <= (3^k' - 1)/2, которую, по предположению, можно получить. Ура!

Ответ. 1, 3, 9, 27.