Question

40 баллов! Решите уравнение x^2=5cos(x-1) методом перебора и методом деления отрезка пополам, а также с помощью табличного процессора. Сравните количество шагов цикла при использовании каждого метода. Язык программирования Python.

Answer 1

Ответ:

х1≈ -0,517; х2 ≈ 1,833

Answer 2

Для решения уравнения $x^2 = 5\cos(x - 1)$ методами перебора и деления отрезка пополам, а также с помощью табличного процессора, давайте последовательно выполним каждый из этих способов. Для сравнения количества шагов в каждом методе, я буду подсчитывать число итераций, необходимых для нахождения корня с определенной точностью.

1. Метод перебора: В данном методе будем перебирать значения $x$ в заданном диапазоне с некоторым шагом, пока не найдем приближенное решение уравнения.

pythonCopy code
import math

def equation(x):
    return x**2 - 5 * math.cos(x - 1)

def solve_by_brute_force(start, end, step, tolerance):
    iterations = 0
    x = start
    while x <= end:
        if abs(equation(x)) < tolerance:
            return x, iterations
        x += step
        iterations += 1
    return None, iterations

start = -10
end = 10
step = 0.001
tolerance = 1e-6

solution_brute_force, iterations_brute_force = solve_by_brute_force(start, end, step, tolerance)
print("Метод перебора:")
print(f"Приближенное решение: {solution_brute_force}")
print(f"Количество шагов: {iterations_brute_force}")

2. Метод деления отрезка пополам: В этом методе мы будем делить заданный интервал пополам до тех пор, пока не найдем корень уравнения.

pythonCopy code
def solve_by_bisection(start, end, tolerance):
    iterations = 0
    while abs(end - start) > tolerance:
        x_mid = (start + end) / 2
        f_mid = equation(x_mid)
        if f_mid == 0:
            return x_mid, iterations
        if equation(start) * f_mid < 0:
            end = x_mid
        else:
            start = x_mid
        iterations += 1
    return (start + end) / 2, iterations

solution_bisection, iterations_bisection = solve_by_bisection(start, end, tolerance)
print("\nМетод деления отрезка пополам:")
print(f"Приближенное решение: {solution_bisection}")
print(f"Количество шагов: {iterations_bisection}")

3. Решение с помощью табличного процессора: Для этого воспользуемся табличным процессором, например, Excel, и найдем значение корня уравнения с использованием его численных методов. После этого, можно подсчитать количество шагов, выполненных табличным процессором для решения уравнения.

Теперь, давайте запустим программу и решим уравнение, используя все три метода, и сравним количество шагов, сделанных каждым из методов. Обратите внимание, что количество шагов может зависеть от выбранного диапазона и шага. В приведенном коде для метода перебора и деления отрезка пополам выбраны значения диапазона $[-10, 10]$ и шага $0.001$, а точность для всех методов установлена на уровне $1 \times 10^{-6}$. Вы можете изменить эти параметры для проведения дополнительных тестов.