Question

Найдите наибольшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 24 имеет три значащих разряда.

Answer 1

Если 24 имеет три разряда, это значит 24 больше или равно квадрату основания системы.

24 > 4^2

но

24 < 5^2

Поэтому наибольший ответ - 4

24_4 = 102_4

Answer 2

Если запись десятичного числа 24 должна иметь три значащих разряда в другой системе счисления, то наибольшее основание этой системы можно найти следующим образом:

Пусть n - количество значащих разрядов в искомой системе счисления. Тогда число 24 в этой системе можно представить как a_n * (основание)^(n-1) + a_(n-1) * (основание)^(n-2) + ... + a_1 * (основание)^0, где a_i - цифра в i-ом разряде.

По условию, n = 3 и число 24 должно иметь три значащих разряда:

24 = a_3 * (основание)^2 + a_2 * (основание)^1 + a_1 * (основание)^0.

Так как наибольшее значение для цифры в любой системе счисления равно (основание - 1), подставим это значение и получим:

24 = (основание - 1) * (основание)^2 + (основание - 1) * (основание)^1 + (основание - 1) * (основание)^0.

Раскроем скобки:

24 = (основание)^2 * (основание - 1) + (основание)^1 * (основание - 1) + (основание - 1).

Упростим:

24 = (основание)^3 - (основание)^2 + (основание)^2 - основание + основание - 1.

Теперь мы видим, что (основание)^2 сокращается, и у нас остается:

24 = (основание)^3 - 1.

Таким образом, мы имеем уравнение:

(основание)^3 - 1 = 24.

Решая это уравнение, получим основание системы счисления:

(основание)^3 = 25, основание = ∛25 ≈ 2.92.

Таким образом, наибольшее основание системы счисления, в которой запись десятичного числа 24 имеет три значащих разряда, будет около 2.92.