Question

Решите на пайтон Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 11102&01012 = 01002 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула x&25 ≠ 0 → (x&17 = 0 → x&А ≠ 0) тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Answer 1

def f(x, a):

   return (x & 25 != 0) <= ((x & 17 == 0) <= (x & a != 0))

for a in range(1000):

   ok = True

   for x in range(1000):

       if not f(x, a):

           ok = False

           break

   if ok:

       print(a)

       break

Ответ: 8

Answer 2

Давайте рассмотрим данное условие и найдем наименьшее неотрицательное целое число A, для которого формула будет тождественно истинной.

У нас есть следующее условие:

x & 25 ≠ 0 → (x & 17 = 0 → x & A ≠ 0)

Для формулы, включающей оператор поразрядной конъюнкции (&), для начала определим, какие значения x делают условие истинным, а затем найдем наименьшее подходящее значение A.

1. x & 25 ≠ 0: Это означает, что x должно иметь хотя бы одну общую "1" в бинарной записи с 25. Бинарная запись 25: 11001. Из этого следует, что x должно содержать хотя бы одну "1" в пяти младших битах.

2. x & 17 = 0: Это означает, что x не должно иметь общих "1" с 17 в своей бинарной записи. Бинарная запись 17: 10001. Из этого следует, что x не должно иметь "1" в четвертом и младших битах.

Теперь давайте рассмотрим вторую часть условия:

(x & 17 = 0 → x & A ≠ 0)

Это означает, что если x & 17 = 0, то x & A должно быть не равно 0. То есть, x должно удовлетворять первым двум условиям, иначе не будет иметь значения проверять A.

Теперь, чтобы найти наименьшее подходящее A, мы можем рассмотреть бинарную запись A. Мы хотим, чтобы x & A ≠ 0 для всех x, которые удовлетворяют первым двум условиям. Минимальное значение A, удовлетворяющее этому требованию, - это бинарное число, которое имеет "1" только в битах, где x & 25 = 1 и x & 17 = 0.

Из бинарной записи 25 (11001) и 17 (10001) видно, что биты, которые соответствуют этим условиям, - это третий и первый биты (считая с 0). Следовательно, A должно быть равно 01010 в двоичной системе или 10 в десятичной системе.

Итак, наименьшее неотрицательное целое число A, для которого формула x & 25 ≠ 0 → (x & 17 = 0 → x & A ≠ 0) тождественно истинна, равно 10.