Question

Два игрока. Петя и Саша, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу ОДИН либо увеличить количество камней в куче В ДВА РАЗА. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. У каждого, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 201. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первый получивший кучу, в которой будет 201 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 200Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока - значит, описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретится при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника. Известно, что Саша выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Паши. Укажите минимальное значение S, когда такая ситуация возможна.

Answer 1

Решение с объяснениями на скриншоте.

За подробный решением/объяснением/обучением можете обращаться в whatsapp [phone]

Answer 2

Давайте рассмотрим игру с точки зрения Саши. Поскольку Саша выиграл своим первым ходом, это означает, что он создал такую ситуацию, что независимо от хода Пети, Саша сможет выиграть на своем следующем ходу.

Допустим, на первом ходу Петя добавил один камень в кучу. Тогда Саша должен выбрать такое число камней, чтобы после своего хода в куче оказалось 4 камня, чтобы независимо от следующего хода Пети, Саша мог удвоить количество камней и выиграть.

Допустим, на первом ходу Петя удвоил количество камней в куче. Тогда Саша должен выбрать такое число камней, чтобы после своего хода в куче было 8 камней. Таким образом, независимо от следующего хода Пети, Саша может удвоить количество камней и выиграть.

Мы видим, что каждый раз, когда Петя удваивает количество камней в куче, Саша должен выбирать такое число камней, чтобы в куче оставалось степень двойки (2, 4, 8, 16, и т.д.). Таким образом, чтобы игра закончилась на следующем ходу Саши, количество камней в куче перед его ходом должно быть меньше или равно 200 и являться степенью двойки.

Минимальное значение S, при котором возможна такая ситуация, достигается, когда количество камней в куче перед ходом Саши равно 4. В этом случае Петя удвоит количество камней до 8, а Саша сможет удвоить количество камней до 16 и выиграть игру на следующем ходу.

Таким образом, минимальное значение S равно 4.