Question

Доведіть, що лінійна швидкість руху планет максимальна в перигелії її орбіти, а мінімальна – в афелії. ​

Answer 1

Ответ:   В общем случае орбитальная скорость планеты, в зависимости от величины центральной массы (М) и расстояния от планеты до центральной массы (S), определяется выражением:

                      V = √G*M*{(2/S) – (1/A)}  

здесь А – большая полуось орбиты планеты.

Анализируя это уравнение, мы видим, что при увеличении расстояния  S,  сумма в скобках в подкоренном выражении, уменьшается, так как первое слагаемое (2/S) уменьшается.  Следовательно, и подкоренное выражение уменьшается при увеличении S. А раз уменьшилось подкоренное выражение, то, естественно, и корень этого выражения уменьшился, т.е. уменьшилась скорость.

При уменьшении величины S первое слагаемое возрастает, значит и возрастает подкоренное выражение. И, соответственно, возрастает и  корень из этого выражения. Значит, возрастает скорость.

 Впрочем, все это можно объяснить и логически, на основе закона сохранения энергии.  Так как планета обращаются вокруг Солнца, то она имеет некоторую энергию. Поскольку орбита планеты  не круговая, а  эллиптическая, то планета обладает некоторой энергией, которая равна сумме кинетической и потенциальной энергий планеты.  И эта сумма энергий остается неизменной для любой точки орбиты.  Таким образом, при движении планеты к афелию, её  потенциальная энергия возрастает, так как расстояние между планетой и Солнцем растет. Если растет потенциальная энергия, значит, кинетическая энергия уменьшается, А так как масса планеты неизменна, то уменьшается орбитальная скорость планеты, и в афелии скорость планеты становится минимальной.  Когда планета движется из афелия к перигелию, то такое движение планеты можно сравнить с падением планеты на Солнце.  При падении, как известно скорость растет. Таким образом, при движении планеты из афелия к перигелию потенциальная энергия планеты уменьшается, а кинетическая энергия растет. И скорость возрастает и в перигелии становится максимальной.

Answer 2

Лінійна швидкість руху планети на орбіті залежить від закону всесвіту, відомого як другий закон Ньютона (також відомий як закон руху). Закон цей формулюється так:

F = m * a,

де: F - сила, що діє на об'єкт (у цьому випадку, сила гравітації, яка притягує планету до Сонця), m - маса планети, a - прискорення планети.

Сила гравітації, що діє на планету, залежить від закону всесвіту, відомого як закон всесвітнього тяжіння Ньютона:

F = G * (M * m) / r^2,

де: F - сила гравітації, G - гравітаційна константа, M - маса Сонця, m - маса планети, r - відстань між Сонцем і планетою.

Підставимо вираз для сили гравітації у другий закон Ньютона:

G * (M * m) / r^2 = m * a.

Тепер ми можемо спростити рівняння, поділивши обидві сторони на масу планети m:

G * M / r^2 = a.

Це рівняння показує, що прискорення планети (a) залежить від відстані (r) між планетою і Сонцем. Якщо ми розглядаємо одну і ту саму планету на своїй орбіті, то маса планети (m) і маса Сонця (M) залишаються постійними.

З цього рівняння видно, що прискорення (a) зворотно пропорційне квадрату відстані (r) між планетою і Сонцем. Тобто, чим ближче планета до Сонця (менший r), тим більше її прискорення. І, навпаки, чим далі від Сонця (більший r), тим менше прискорення.

Лінійна швидкість (V) може бути виражена через прискорення і відстань таким чином:

V = √(a * r).

Тепер ми можемо побачити, що лінійна швидкість залежить від прискорення (a) та відстані (r). Отже, якщо прискорення максимальне, то і лінійна швидкість буде максимальною. Це стається в перигелії, коли планета найближче до Сонця.

З іншого боку, якщо прискорення мінімальне, то і лінійна швидкість буде мінімальною. Це відбувається в афелії, коли планета найдалі від Сонця.

Таким чином, ми довели, що лінійна швидкість руху планети максимальна в перигелії її орбіти, а мінімальна - в афелії, на основі фізичних законів гравітації та другого закону Ньютона.