Question

Виразити масу Сатурна в масах Землі (масу Землі взяти за одиницю), якщо відстань від Сатурна до його супутника Діана 3,78х10 5 км, а період обертання супутника 2,75 доби? Відстань від Землі до Місяця 3,8х10 5 км, а період обертання 27,3 доби. (Масами супутників можна знехтувати).

Answer 1

Ответ:  Масса Сатурна равна ≈ 97 массам Земли.

Объяснение: Дано:

Период обращения Луны Т1=27,3 суток

Радиус орбиты Луны а1 = 3,8*10^5 км

Период обращения Дианы Т2 =2,75 суток

Радиус орбиты Дианы а2 = 3,78*10^5 км

Масса Земли  Мз – М1

Масса Сатурна Мс – М2

Найти во сколько раз масса Сатурна больше массы Земли Мс/Мз = М2/М1 - ?

Обобщенный третий закон Кеплера справедлив для двух независимых систем, состоящих из центральных массивных тел и спутников, обращающихся вокруг них,  и имеет вид:

Т1² (М1 +m1)/Т2² (М2+ m2) = а1³/а2³,  здесь Т1 и Т2 – периоды обращения спутников вокруг центрального массивного тела; М1 и М2 - массы центральных массивных небесных тел; m1 и m2 – массы спутников, обращающихся вокруг центральных тел;  а1 и а2 – большие полуоси орбит спутников.

 Так как обычно массы спутников  малы в сравнении с массами центральных тел, вокруг которых спутники обращаются, то при расчете отношения масс центральных тел, массами спутников можно пренебречь. В этом случае из обобщенного третьего закона Кеплера следует, что  М2/М1 = Мс/Мз =  Т1²* а2³/Т2²*а1³.

Подставив числовые значения параметров, имеем:

Мс/Мз = 27,3²*(3,78*10^5)³/2,75²*(3,8*10^5)³ ≈ 97

Answer 2

Для вирішення цього завдання ми можемо використовувати третій закон Кеплера, який говорить, що квадрат періоду обертання планети (або супутника) пропорційний кубу відстані від центра обертання.

Для Сатурна та його супутника Діана:

• Період обертання (T₁) = 2.75 доби = 2.75 * 24 години
• Відстань (r₁) = 3.78 * 10^5 км

Для Землі та Місяця:

• Період обертання (T₂) = 27.3 доби = 27.3 * 24 години
• Відстань (r₂) = 3.8 * 10^5 км

За третім законом Кеплера маємо:

(T₁² / T₂²) = (r₁³ / r₂³)

Підставляючи відповідні значення, ми отримаємо:

(2.75 * 24 години)² / (27.3 * 24 години)² = (3.78 * 10^5 км)³ / (3.8 * 10^5 км)³

Спростивши, отримаємо:

(7.5625) / (745.29) = 1.000586

Це відношення кубів періодів обертання планет (супутників) та відстаней між ними дорівнює відношенню кубів мас Сатурна та Землі.

Таким чином, маса Сатурна в масах Землі буде приблизно 1.000586.