Question

Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел от 1 до 15 и от 1 до 100 ?

Answer 1

от 1 до 100

24 нуля.  

Нулей столько, сколько имеется пар простых множителей 2 и 5. Двоек очень много – они присутствуют во всех четных числах. А пятерок меньше – они имеются только в числах, делящихся на 5. Таких чисел двадцать: 5, 10, 15, 20, 25, …, 95, 100. Но в четырех из них по две пятерки: 25 = 5 х 5, 50 = 2 х 5 х 5, 75 = 3 х 5 х 5, 100 = 2 х 2 х 5 х 5. Так что всего пятерок в произведении 20 + 4 = 24.

Answer 2

Чтобы найти количество нулей в конце произведения всех натуральных чисел от 1 до некоторого числа N, нужно найти, сколько раз число 10 входит в это произведение. А чтобы число 10 появилось в произведении, необходимо, чтобы в нем было хотя бы одно число 2 и одно число 5, потому что 10 = 2 * 5.

Теперь давайте рассмотрим каждый из промежутков:

1. Для произведения всех натуральных чисел от 1 до 15:

Произведение всех чисел от 1 до 15 обозначим как P15.

P15 = 1 * 2 * 3 * ... * 15.

Теперь посчитаем, сколько раз встречается число 2 и число 5 среди этих множителей:

• Число 2 встречается в множителях: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14. Их всего 7 штук.
• Число 5 встречается в множителях: 5, 10, 15. Их всего 3 штуки.

Число 2 встречается больше раз, чем число 5, поэтому количество нулей в конце произведения P15 определяется количеством пятерок, то есть 3 нулями.

2. Для произведения всех натуральных чисел от 1 до 100:

Произведение всех чисел от 1 до 100 обозначим как P100.

P100 = 1 * 2 * 3 * ... * 100.

Теперь посчитаем, сколько раз встречается число 2 и число 5 среди этих множителей:

• Число 2 встречается в множителях: 2, 4, 6, ..., 100. Для этого промежутка используется четное число 100 / 2 = 50 чисел.
• Число 5 встречается в множителях: 5, 10, 15, ..., 100. Для этого промежутка также используется четное число 100 / 5 = 20 чисел.

Всего число 2 встречается 50 раз, а число 5 - 20 раз. Опять же, количество нулей в конце произведения P100 определяется количеством пятерок, то есть 20 нулями.

Таким образом, произведение всех натуральных чисел от 1 до 15 заканчивается тремя нулями, а от 1 до 100 заканчивается двадцатью нулями.