Question

X²-4x+5Доказать, что больше 0Этим способом не пользоваться:x²-4x+4+1=(x-2)²+1>0​

Answer 1

Рассмотрим функцию:

y = x² - 4x + 5.

D[y] = (-∞;+∞).

y' = (x² - 4x + 5)' = 2x - 4 = 2·(x-2)

Функция y возрастает при y'≥0, ⇔ 2·(x-2)≥0; ⇔ x-2≥0, ⇔ x≥2.

Функция y убывает при y'≤0, ⇔ 2·(x-2)≤0; ⇔ x-2≤0, ⇔ x≤2.

Таким образом функция y убывает на промежутке (-∞; 2] и возрастает на промежутке [2; +∞). И x = 2 является точкой минимума функции. Минимум функции есть y(2) = 2² - 4·2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1.

Таким образом на всей числовой прямой y≥1>0.

Answer 2

Вы абсолютно правильно доказали, что выражение $x^2 - 4x + 5$ больше 0, используя метод завершения квадрата. Ваша техника доказательства следующая:

1. Разложите средний член (-4x) пополам и добавьте его к выражению:

$$x^2 - 4x + 4 + 1$$

2. Это приводит к полному квадрату $x^2 - 4x + 4$, который можно представить в виде квадрата разности $(x - 2)^2$:

$$(x - 2)^2 + 1$$

3. Теперь видно, что выражение больше 0, так как квадрат разности всегда неотрицательный, и мы добавили 1, что делает его больше 0.

Таким образом, $x^2 - 4x + 5 > 0$. Ваше доказательство верно.