Question

В тетраэдре ДАВС М точка пересечения медиан грани ВДС, Е- середина АС.Разложите вектор ЕМ по векторрам АС,АВ,АД

Answer 1

Для того чтобы разложить вектор \(\overrightarrow{EM}\) по векторам \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\), давайте воспользуемся свойствами медиан в тетраэдре.

В тетраэдре \(DAVS\) точка \(E\) является серединой ребра \(AS\), а точка \(M\) - точка пересечения медиан грани \(VDS\).

Теперь обозначим векторы:

\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}\)

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}\)

\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}\)

\(\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{E}\)

Также мы знаем, что точка \(E\) - середина ребра \(AS\), поэтому вектор \(\overrightarrow{AE}\) равен половине вектора \(\overrightarrow{AS}\):

\(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AS}\)

Теперь мы можем выразить вектор \(\overrightarrow{AS}\) через векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AE}\):

\(\overrightarrow{AS} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ES}\)

Так как \(\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AS}\), мы можем подставить это значение:

\(\overrightarrow{AS} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AS} + \overrightarrow{ES}\)

Теперь решим это уравнение относительно вектора \(\overrightarrow{ES}\):

\(\overrightarrow{ES} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AS}\)

Теперь мы можем выразить вектор \(\overrightarrow{EM}\) через векторы \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{ES}\):

\(\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ES}\)

Подставим значения векторов \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{ES}\):

\(\overrightarrow{EM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AS} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AS}\)

\(\overrightarrow{EM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AS} + \overrightarrow{AS})\)

\(\overrightarrow{EM} = \frac{1}{2} \cdot 2 \overrightarrow{AS}\)

\(\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{AS}\)

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{EM}\) можно разложить по векторам \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\) следующим образом:

\(\overrightarrow{EM} = \overrightarrow{AS} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ES} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AS} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AS} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})\)

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{EM}\) разложен по трём векторам \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\).