Question

Дан треугольник ABC. Продолжим его сторону AB за вершину B отрезком BP таким, что BP=AB; сторону AC – за вершину A отрезком AM таким, что AM=CA; сторону BC – за вершину C отрезком KC таким, что KC=BC. Во сколько раз площадь треугольника PKM больше площади треугольника ABC?

Answer 1

За основу решения примем теорему об отношении площадей треугольника:
1. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
2. Если основания двух треугольников равны, то их площади относятся как высоты.
Пусть площадь △ АВС=а 
Рассмотрим треугольники АВС и МРС. 
Через вершину В проведем ОН параллельно МС.
 В треугольнике МРС отрезок РА - медиана, т.к. МА=АС; АВ=ВР по условию ⇒ ОН=АС и является средней линией △ МРС 
Высота РТ △ МРС в два раза больше высоты  h △ АВС, основание МС в два раза больше АС.
Следовательно, площадь МРС=4a 
 Рассмотрим треугольники АВС и  МСК.  
Основания ВС=СК,  МС =2 АС, следовательно,  и высота треугольника МСК  из М вдвое больше высоты треугольника АВС, отсюда площадь △ МСК=2а 
Рассмотрим треугольники АВС и РВС Основания АВ=ВР, высота из С у них общая.⇒S ВРС= S АВA=аТреугольники РВС и РСК равновелики - ВС=СК и высота РЕ из Р - общая. ⇒ площадь треугольника РСК=площади треугольника ВСР=а, 
Итак,
S△МРС=4 а
S △ МСК =2а 
S △ РСК=а ⇒
S △ РМК=4 а+2 а+ а=7а, из чего следует, что
площадь треугольника РМК в 7 раз больше площади треугольника АВС.