Question

Докажите что в правильном пятиугольнике диагонали, выходящие из одной вершины, делят угол при данной вершине на три равные части.

Answer 1

Две диагонали, выходящие из одной вершины, делят пятиугольник на три треугольника, два из которых равнобедренные с углом при вершине 108 (как у пятиугольника, в чем нетрудно убедиться, построив рисунок). Две из частей углов будут равны углам при основании этих треугольников, и равны 36 градусам. Тогда и третья часть равна 36 градусам.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим правильный пятиугольник ABCDE, в котором все стороны и углы равны.

Пусть точка F - это середина стороны AB. Тогда диагонали CF и DF являются медианами треугольника АВС, их можно продлить до пересечения с противоположной стороной (см. рисунок).

      A----AB---B
     / \       / \
    /   \  F  /   \
   /  C  \   /  D  \
  /_______\ /_______\
 E         C         D

Докажем, что угол CFB равен углу FBD.

Рассмотрим треугольник АВЕ. У него сторона АЕ равна стороне АВ (по построению), и угол АЕВ равен углу АВЕ (так как пятиугольник правильный). Из этих двух равенств следует, что треугольники АВЕ и АЕВ равны (по стороне-уголу-стороне).

Значит, углы АЕВ и АЕВ равны, а значит, угол ВЕА равен углу ВАЕ.

Теперь рассмотрим треугольник EFС. Сторона СЕ равна стороне CB (по построению), и угол SEF равен углу CEB (так как пятиугольник правильный). Из этих двух равенств следует, что треугольники СЕF и CBЕ равны (по стороне-уголу-стороне).

Значит, углы CEF и CBE равны, а значит, угол CEB равен углу CFE.

Теперь рассмотрим треугольник EFD. Сторона ЕD равна стороне DB (по построению), и угол DFE равен углу DEB (так как пятиугольник правильный). Из этих двух равенств следует, что треугольники ЕFD и DBE равны (по стороне-уголу-стороне).

Значит, углы DEF и DEB равны, а значит, угол DEB равен углу DFE.

Таким образом, у нас получилось, что углы CEB, CFE и DFE равны между собой.

Из этого следует, что диагонали CF и DF делят угол при вершине F на три равные части.

Таким образом, мы доказали, что в правильном пятиугольнике диагонали, выходящие из одной вершины, делят угол при данной вершине на три равные части.