Question

Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости

Answer 1

Расстояние между основаниями в равных трапециях (её высота) одинаково. 

 Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна 180°. (Свойство углов при параллельных прямых и секущей)

В равнобедренной трапеции углы при её основаниях равны, следовательно, сумма ее противоположных углов также равна 180°. При укладке плитки основаниями на одной линии и  боковая сторона к боковой, но с переменой положения оснований, получится единая плоскость без зазоров, которая может покрыть  часть плоскости любой формы, что и требовалось доказать. (см. рисунок).  

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте представим, что у нас есть две одинаковые плитки, имеющие форму равнобедренной трапеции. Пусть эти плитки имеют основания a и b, и высоту h.

Теперь мы можем уложить эти плитки таким образом, чтобы основание одной плитки было параллельно основанию другой, и их высоты были направлены в одном направлении. Таким образом, мы можем создать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.

Для этого нам нужно просто поворачивать и смещать плитки так, чтобы они заполняли всю плоскость, не оставляя промежутков. Это возможно, так как плитки имеют форму равнобедренной трапеции, что позволяет им заполнять плоскость без пробелов.

Таким образом, из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.