Question

Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка X, а внутри треугольника AXD точка Y, причем ∠XYA+∠XCB=∠XYD+∠XBC=180° Докажите, что XY║AB

Answer 1

Продолжим отрезок XY до пересечения со сторонами АД и ВС в точках К и М соответственно.
∠XYA+∠XCB=∠XYA+∠XYP=180°, значит ∠XYP=XCB.
∠XYD+∠ХBC=∠XYD+XYH=180°, значит ∠XYH=∠ХBC.
В тр-ках АYK и CXM ∠АYK=∠XCM и ∠AKY=∠CMX как накрест лежащие, значит эти треугольники подобны.
В тр-ках DYK и BXM ∠DYK=∠XBM и ∠DKY=∠BMX как накрест лежащие, значит они подобны.
Пусть АК=х, DK=y, тогда В треугольниках AYK и DYK отношение этих сторон: АК:DK=х:у, а сторона YK у них общая и отношение будет 1:1.
Для сторон АК и DK из тр-ках AYK и DYK в подобных для них тр-ках ВMX и СMX соответственными для них сторонами будет МХ и МХ (она общая с отношением 1:1), а для сторон YK и YK - соответственные стороны СМ и ВМ.
Чтобы привести подобие сторон АК и DK в тр-ках АYK и DYК к такому же подобию, как у общей стороны МХ в тр-ках ВMX и DМХ (1:1), нужно все стороны тр-ка AYK умножить на у, а тр-ка DYK - на х.
АК·у=ху, DK·x=ух. Hовое отношение 1:1, как у сторон МХ в тр-ках ВМX и СMX.
В тр-ке AYK YK·y=y. В тр-ке DYK YK·x=x. Новое отношение получится  как у сторон ВМ и СМ в треугольниках ВМX и CMХ: ВМ:СМ=х:у.
В параллелограмме АВCD AD=BC, AD║BC. AK:DK=ВМ:СМ=х:у, значит АК=ВМ и DK=СМ, следовательно АВМК - параллелограмм, в котором АВ║МК.
XY∈МК ⇒ XY║АВ.
Доказано.

Answer 2

Для доказательства, что линия XY параллельна стороне AB параллелограмма ABCD, мы можем использовать свойство параллелограмма, которое гласит: "Противоположные стороны параллелограмма параллельны".

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллельны. 2. Противоположные стороны равны. 3. Противоположные углы параллельного четырехугольника равны.

Доказательство

Для начала, обратимся к углам треугольника AXD и параллелограмма ABCD. Из условия задачи, мы знаем, что:

∠XYA + ∠XCB = 180° (1) и ∠XYD + ∠XBC = 180° (2)

Рассмотрим параллельные линии XY и AB. Если мы предположим, что XY не параллельна AB, то они пересекутся в некоторой точке Z.

В треугольнике AXD, сумма всех внутренних углов равна 180°. Поэтому:

∠AXD + ∠XDA + ∠ADX = 180° (3)

Также, угол ∠XDA является внешним углом треугольника XCB, и согласно теореме о внешних углах треугольника, он равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

∠XDA = ∠XYA + ∠XCB (4)

Подставим (4) в (3):

∠AXD + (∠XYA + ∠XCB) + ∠ADX = 180° (5)

Также, мы знаем из условия задачи, что ∠XYA + ∠XCB = 180° (1), поэтому:

∠AXD + 180° + ∠ADX = 180° (6)

Упростим (6):

∠AXD + ∠ADX = 0° (7)

Таким образом, сумма углов ∠AXD и ∠ADX равна 0°, что является противоречием.

Поэтому предположение о пересечении линий XY и AB является ложным, и мы можем заключить, что XY параллельна AB.

Таким образом, мы доказали, что линия XY параллельна стороне AB внутри параллелограмма ABCD.