Question

На одной стороне угла В отмечены точки А и D,на другой- E и C так,что B-D-A и B-E-C, BD=3,1см,BE=4,2см,BA=9,3см,BC=12,6см. Докажите: AC параллельно ED. Найдите: а)DE; AC. б) отношение периметров и площадей треугольников ABC и DBE.

Answer 1

АС параллельно ЕD, т.к. треугольник АВС подобен треугольнику BDE по второму признаку: угол В - общий, а значит равный в треугольниках, отношение сторон ВD/ВА=ВЕ/ВС.

Коэффициент подобия: к=9,3/3,1=12,6/4,2=3.

Из свойства подобных треугольников:

1) отношение периметров равно коэффициенту подобия, значит Р(АВС)/Р(DВЕ)=3

2) отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, значит S(АВС)/S(DВЕ)=3*3=9. 

Answer 2

Дано: - На одной стороне угла В отмечены точки А и D. - На другой стороне угла В отмечены точки E и C. - Треугольники BDA и BEC таковы, что B-D-A и B-E-C. - BD = 3.1 см, BE = 4.2 см, BA = 9.3 см, BC = 12.6 см.

Доказательство AC || ED: Для доказательства AC || ED мы можем использовать теорему о пропорциональных линиях, так как треугольники BDA и BEC подобны.

Подобие треугольников BDA и BEC:

Мы можем установить, что треугольники BDA и BEC подобны, поскольку у них соответствующие углы равны (B-D-A и B-E-C).

Установление пропорциональности:

Мы можем использовать установленное подобие треугольников BDA и BEC для установления пропорциональности отношений сторон треугольников.

- Соотношение BD к BA равно соотношению BE к BC: BD / BA = BE / BC

- Подставим известные значения: 3.1 / 9.3 = 4.2 / 12.6

- Упростим выражение: 0.333 ≈ 0.333

- Значения равны, следовательно, пропорциональность установлена.

Установление параллельности:

Теперь, имея установленную пропорциональность, мы можем использовать теорему о пропорциональных линиях для установления параллельности AC и ED.

Теорема о пропорциональных линиях гласит: Если две прямые линии пересекаются двумя или больше параллельными прямыми, то они делят эти параллельные прямые на пропорциональные сегменты.

Таким образом, AC || ED.

Нахождение DE:

DE - это сторона треугольника BEC.

Мы можем использовать пропорциональность, установленную ранее, чтобы найти DE.

- Соотношение BD к BE равно соотношению BA к BC: BD / BE = BA / BC

- Подставим известные значения: 3.1 / DE = 9.3 / 12.6

- Упростим выражение: 0.246 ≈ 0.738

- Решим уравнение: DE ≈ 3.1 * 12.6 / 9.3 DE ≈ 4.2 см

Нахождение AC:

AC - это сторона треугольника ABC.

Так как AC || ED, мы можем использовать установленное подобие треугольников BDA и BEC, чтобы найти AC.

- Соотношение BD к AC равно соотношению BA к BC: BD / AC = BA / BC

- Подставим известные значения: 3.1 / AC = 9.3 / 12.6

- Упростим выражение: 0.246 ≈ 0.738

- Решим уравнение: AC ≈ 3.1 * 12.6 / 9.3 AC ≈ 4.2 см

Нахождение отношения периметров и площадей:

а) Отношение периметров треугольников ABC и DBE: Периметр треугольника ABC = AB + BC + CA = 9.3 + 12.6 + AC ≈ 9.3 + 12.6 + 4.2 ≈ 26.1 см

Периметр треугольника DBE = DB + BE + DE = 3.1 + 4.2 + 4.2 ≈ 11.5 см

Отношение периметров = Периметр ABC / Периметр DBE ≈ 26.1 / 11.5 ≈ 2.27

б) Отношение площадей треугольников ABC и DBE: Площадь треугольника ABC = (1/2) * BA * AC * sin(B) = (1/2) * 9.3 * 4.2 * sin(B) ≈ 19.53 см²

Площадь треугольника DBE = (1/2) * BD * BE * sin(B) = (1/2) * 3.1 * 4.2 * sin(B) ≈ 6.51 см²

Отношение площадей = Площадь ABC / Площадь DBE ≈ 19.53 / 6.51 ≈ 3

Итак, мы получили следующие результаты: - AC || ED - DE ≈ 4.2 см - AC ≈ 4.2 см - Отношение периметров треугольников ABC и DBE ≈ 2.27 - Отношение площадей треугольников ABC и DBE ≈ 3