Question

В ромбе АВСД диагонали АС и ВД относятся как 4:3. Через точку пересечения диагоналей проведена высота MN (M - принадлежит АД, N - принадлежит ВС). Во сколько раз площадь ромба больше площади треугольника ANM?

Answer 1

tg угла DАС = 3/4 => обозначим MN/2  = 3x , AM = 4x. tg угла BDA=4/3 => обозначим              МN/2 = 4y, DM=3y; =>   3x=4y  => y=(3/4)x => DM=3y=(9/4)x=> DA=DM+AM=(25/4)x;  Площадь ABCD=AD*MN=(25/4)x*MN; Площадь AMN = 4x*MN/2=>                                                                S1/S2 =(25/4)x/(2x)=>25/8 

Answer 2

Пусть длина диагонали AC равна 4x, а длина диагонали BD равна 3x. Так как диагонали ромба АВСD пересекаются в прямом углу, то они делят его на 4 равных треугольника. Площадь ромба можно выразить через длины его диагоналей по формуле:

S_ромба = (1/2) * AC * BD

S_ромба = (1/2) * 4x * 3x = 6x^2

Также известно, что через точку пересечения диагоналей проведена высота mn. Треугольник ANM имеет стороны, равные диагоналям ромба.

Теперь найдем площадь треугольника ANM через длины его сторон по формуле Герона:

S_треугольника = sqrt(p * (p - AN) * (p - AM) * (p - NM))

где p - полупериметр треугольника (p = (AN + AM + NM) / 2)

Воспользуемся тем, что стороны треугольника ANM равны длинам диагоналей AC и BD ромба:

S_треугольника = sqrt((AC + BD) * (AC - AN) * (BD - AM) * (AN + AM - AC - BD) / 4)

S_треугольника = sqrt((4x + 3x) * (4x - 4x) * (3x - 3x) * (4x + 3x - 4x - 3x) / 4)

S_треугольника = sqrt(7x * 0 * 0 * 0 / 4) = 0

Получаем, что площадь треугольника ANM равна 0.

Таким образом, площадь ромба АВСD в разы больше площади треугольника ANM:

S_ромба / S_треугольника = (6x^2) / 0 = бесконечность