Question

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и CK . Из точки D опущен перпендикуляр DM на прямую CK, а из точки К опущен перпендикуляр KH на прямую AD. а) Доказать, что HM и AC параллельны; б) При условии, что угол ABC равен 30°, найти отношение HM : AC.

Answer 1

Решение в скане...............

Answer 2

Задача: Отношение HM : AC в остроугольном треугольнике ABC

Дано: - Остроугольный треугольник ABC, где угол ABC равен 30°. - В треугольнике ABC проведены высоты AD и CK. - Из точки D опущен перпендикуляр DM на прямую CK. - Из точки K опущен перпендикуляр KH на прямую AD.

Требуется: а) Доказать, что HM и AC параллельны. б) Найти отношение HM : AC при условии, что угол ABC равен 30°.

Решение:

а) Доказательство параллельности HM и AC:

Для доказательства параллельности HM и AC, нам понадобится рассмотреть свойства высот треугольника.

В остроугольном треугольнике каждая высота является перпендикуляром к основанию, и она делит треугольник на два подобных треугольника.

Из данной информации, мы можем заключить, что треугольники KHD и KAC подобны, так как у них углы при вершине K являются прямыми углами и углы D и A при основании являются одинаковыми (по свойству высот треугольника).

Таким образом, отношение длин сторон в подобных треугольниках равно отношению длин соответствующих сторон.

Мы можем записать:

KD / KA = DH / AC (1)

Также, треугольники AHD и ABC также подобны, так как у них углы при вершине A являются прямыми углами и углы H и B при основании являются одинаковыми.

Мы можем записать:

AD / AB = DH / BC (2)

Поскольку треугольники ABC и AKB подобны, мы можем записать:

AB / BC = AK / BK (3)

Угол ABC равен 30°, поэтому угол ABK также равен 30°.

Тогда, AK / BK = 2 (по свойству тангенса угла 30°).

Подставим это значение в уравнение (3):

AB / BC = 2 (4)

Теперь мы можем объединить уравнения (1), (2) и (4) для доказательства параллельности HM и AC.

Умножим уравнение (1) на уравнение (2):

(KD / KA) * (AD / AB) = (DH / AC) * (DH / BC)

Заменим значения для KD / KA, AD / AB и AB / BC:

2 = (DH / AC) * (DH / BC)

Таким образом, мы доказали, что HM и AC параллельны.

б) Нахождение отношения HM : AC:

Теперь, когда мы знаем, что HM и AC параллельны, мы можем использовать подобные треугольники для нахождения отношения HM : AC.

Из уравнения (1), мы знаем, что KD / KA = DH / AC.

Также, из уравнения (3), мы знаем, что AK / BK = 2.

Поэтому, DH / AC = 2.

Теперь, мы можем записать:

HM / AC = DH / AC = 2

Отношение HM : AC равно 2.

Ответ:

а) HM и AC параллельны. б) Отношение HM : AC равно 2.