Question

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки K, M и P так, что AK : KB = 1 : 2, BM : MC = 2 : 3, CP : PA = 3 : 4. Площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь треугольника KMP.

Answer 1

На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты точки K, M и P так, что AK : KB = 1 : 2, BM : MC = 2 : 3, CP : PA = 3 : 4. Площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь треугольника KMP.

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать свойство подобия треугольников. Дано, что отношения длин отрезков AK:KB = 1:2, BM:MC = 2:3 и CP:PA = 3:4. Это означает, что треугольники AKP и KCB подобны, треугольники BMP и KCA подобны, а также треугольники CMP и KAB подобны.

Чтобы найти площадь треугольника KMP, мы можем использовать отношения длин сторон и площадей подобных треугольников. Давайте обозначим площади треугольников AKP, KCB, BMP, KCA, CMP и KAB как S1, S2, S3, S4, S5 и S6 соответственно.

Известно, что площадь треугольника ABC равна 1, поэтому S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 = 1.

Поскольку треугольники AKP и KCB подобны, отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения длин сторон AK:KB. То есть S1:S2 = (1:2)^2 = 1:4.

Аналогично, отношение площадей треугольников BMP и KCA равно (2:3)^2 = 4:9, а отношение площадей треугольников CMP и KAB равно (3:4)^2 = 9:16.

Теперь мы можем записать систему уравнений на основе этих отношений: S1 + S2 + S3 + S4 + S5 + S6 = 1, S1:S2 = 1:4, S3:S4 = 4:9, S5:S6 = 9:16.

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения площадей треугольников AKP, KCB, BMP, KCA, CMP и KAB.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника KMP, мы можем использовать отношение площадей треугольников KMP и AKP. Поскольку эти треугольники подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения длин сторон KP:KA.

Из условия задачи известно, что AK:KB = 1:2, поэтому KP:KA = (1:2)^2 = 1:4.

Таким образом, площадь треугольника KMP равна 1/4 площади треугольника AKP.

Пожалуйста, следуйте инструкциям ниже, чтобы найти площадь треугольника KMP.