Question

Радиус окружности, вписанной трапеции, равен 18. Найдите высоту этой трапеции.

Answer 1

Ответ:

36

Объяснение:

Радиус 18, значит диаметр 36

Окружность вписана в трапецию во всю высотутрапеции. Отсюда высота трапеции равна диаметру окружности.

Answer 2

Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а высота равна $h$. Тогда радиус вписанной окружности равен:
$$r=\frac{h}{\frac{a+b}{2}}$$
$$r=\frac{2h}{a+b}$$
Известно, что $r=18$. Также, можно использовать формулу площади трапеции:
$$S=\frac{(a+b)h}{2}$$
$$h=\frac{2S}{a+b}$$
Но так как мы не знаем площадь трапеции, то используем первую формулу. Подставляем $r=18$ и находим $h$:
$$18=\frac{2h}{a+b}$$
$$a+b=\frac{2h}{18}= \frac{h}{9}$$
Также известно, что в треугольнике, образованном радиусом вписанной окружности и отрезками $a$ и $b$, верхний угол прямой, а значит, равен сумме углов при основаниях трапеции. То есть:
$$\arctan\frac{h}{2r} = \arctan\frac{a-b}{2r} + \arctan\frac{a+b}{2r}$$
$$\arctan\frac{h}{2\cdot18} = \arctan\frac{a-b}{2\cdot18} + \arctan\frac{a+b}{2\cdot18}$$
$$\arctan\frac{h}{36} = \arctan\frac{a-b}{36} + \arctan\frac{a+b}{36}$$
Применим формулу тангенса суммы углов:
$$\frac{h}{36} = \frac{(a-b)+(a+b)}{1-(a-b)(a+b)/1296} \cdot \frac{1}{36}$$
$$h = \frac{2ab}{a+b}$$
$$18(a+b)=2ab$$
$$ab=162h$$
Используем это выражение и подставляем в формулу для $h$:
$$h = \frac{2\cdot 162 h}{a+b}$$
$$a+b=4\cdot 18=72$$
$$h = \frac{2\cdot 162}{72}= \frac{9}{2}$$
Ответ: высота трапеции равна $\frac{9}{2}$.