Question

В треугольниках ABC и DEF равны пары сторон AB и DE, BC и EF, а также углы BAC и EDF. При каком дополнительном условии можно утверждать, что треугольники ABC и DEF равны? 1.∠BAC — острый 2.∠BAC — прямой 3.∠BAC — тупой 4.∠BCA — острый 5.уголBCA — прямой 6.∠BCA — тупой 7.AB>BC 8.AB

Answer 1

Первый признак равенства треугольников : по двум равным сторонам и равному углу между ними. В условии равные углы не образованы равными сторонами. Утверждать, что треугольники равны, нельзя (рис.1).

2. ∠BAC — прямой:    ∠BAC = ∠EDF = 90°;     (рис.2)

AB=DE (равные катеты);  BC=EF (равные гипотенузы)   ⇒

ΔABC = ΔDEF   по равным катету и гипотенузе.

3. ∠BAC — тупой  :    ∠BAC = ∠EDF > 90°;    (рис.3)

Так как в треугольнике может быть только один тупой угол, а два других будут острыми, то по теореме синусов

$\dfrac{AB}{\sin\angle BCA}=\dfrac{BC}{\sin\angle BAC}==\dfrac{EF}{\sin\angle EDF}=\dfrac{DE}{\sin\angle EFD}$

AB=DE  ⇒  sin∠BCA = sin∠EFD   ⇒  ∠BCA = ∠EFD (оба острые)

 ⇒  ∠ABC = ∠DEF (по сумме углов треугольника)  ⇒

ΔABC = ΔDEF  по двум равным сторонам и углу между ними.

5. ∠BCA — прямой  :  Так как в треугольнике может быть только один прямой угол, а два других будут острыми, то по теореме синусов

$\dfrac{AB}{\sin\angle BCA}=\dfrac{BC}{\sin\angle BAC}==\dfrac{EF}{\sin\angle EDF}=\dfrac{DE}{\sin\angle EFD}$

AB=DE  ⇒  sin∠BCA = sin∠EFD   ⇒  ∠BCA = ∠EFD = 90°

ΔABC = ΔDEF  по равным катету и гипотенузе.

=====================================

Остальные дополнительные условия недостаточны - видно на рисунках.

1. ∠BAC — острый     -  рис.1

4. ∠BCA — острый    -  рис.1

6. ∠BCA — тупой       -  рис.4

7. AB>BC  —   рис.1, рис.4

Answer 2

Если равны пары сторон и углы между ними, то треугольники ABC и DEF будут равными по стороне-углу-стороне (СУС).

То есть, для того чтобы утверждать, что треугольники ABC и DEF равны, необходимо дополнительное условие: угол, лежащий между равными сторонами AB и DE, должен быть равен.

Таким образом, правильный ответ на вопрос будет 2. ∠BAC — прямой, при условии, что угол между равными сторонами также равен.