Question

Равносторонний треугольник, сторона которого 6см, вращается вокруг своей стороны. Определите объём и поверхность полученного тела.

Answer 1

Теоремы:

Все углы равностороннего треугольника равны и равны 60^\circ : \alpha = \beta = \gamma = 60^\circ .
Медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника совпадают и равны \frac{{a\sqrt 3 }}{2}: h_a = l_a = m_a =
\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности: R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.
Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности: r =
\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.
Площадь равностороннего треугольника: S = \frac{{a^2 \sqrt 3
}}{4}.

Answer 2

Чтобы определить объем и поверхность тела, получаемого вращением равностороннего треугольника вокруг своей стороны, мы можем использовать формулы для объема и поверхности вращения.

Объем тела, получаемого вращением фигуры вокруг прямой, можно вычислить с помощью интеграла. Для равностороннего треугольника с длиной стороны 6 см, рассматриваемой как ось вращения, пределы интегрирования будут от 0 до высоты треугольника.

Высота равностороннего треугольника (h) можно вычислить с помощью формулы: h = √(3/4) * a, где a - длина стороны треугольника.

В нашем случае: a = 6 см.

Высота треугольника: h = √(3/4) * 6 см = √9 см = 3√см.

Теперь мы можем использовать формулу для объема вращения фигуры вокруг оси: V = ∫[0, h] A(y) dy, где A(y) - площадь поперечного сечения фигуры на расстоянии y от оси вращения.

В нашем случае поперечное сечение является равносторонним треугольником, и его площадь можно выразить следующим образом: A(y) = (1/2) * (a^2) * √(3/4), где y - расстояние от оси вращения до плоскости поперечного сечения.

Подставляя значения: A(y) = (1/2) * (6 см^2) * √(3/4) = 9√см^2.

Теперь мы можем вычислить объем: V = ∫[0, 3√см] 9√см^2 dy.

Интегрируя это выражение, получим значение объема тела.

Чтобы вычислить поверхность тела, полученного вращением, мы можем использовать формулу поверхности вращения. Для равностороннего треугольника она будет выглядеть следующим образом: S = 2π ∫[0, h] y * √(1 + (dy/dy)^2) dy.

Вычислив интеграл, получим значение поверхности тела.

Помимо этого, можно использовать готовые формулы для объема и поверхности вращения равностороннего треугольника, но я предложил более подробный под