Question

Фірма працює за технологією, що описується виробничою функцією Q = L^0,2*K^0,8 Ціна праці становить 7, а ціна капіталу – 2. Визначити середню продуктивність праці при знаходженні фірми в точці рівноваги.

Answer 1

Ответ:

Щоб знайти середню продуктивність праці в точці рівноваги, потрібно вирішити задачу максимізації функції виробництва відносно використання факторів виробництва (праці та капіталу). Для цього ми будемо використовувати умови першого порядку:

∂Q/∂L = 0 та ∂Q/∂K = 0

Підставимо виробничу функцію:

Q = L^0,2 * K^0,8

∂Q/∂L = 0,2 * L^(-0,8) * K^0,8 = 0

∂Q/∂K = 0,8 * L^0,2 * K^(-0,2) = 0

Розв'язуємо систему рівнянь:

0,2 * L^(-0,8) * K^0,8 = 0

0,8 * L^0,2 * K^(-0,2) = 0

Отримуємо:

L = 0,8 * K

Це є умовою рівноваги фірми. Підставимо це значення в виробничу функцію, щоб знайти максимальну кількість продукції, яку можна виробити при заданій ціні праці та капіталу:

Q = (0,8 * K)^0,2 * K^0,8 = 0,8^(0,2) * K^(0,2) * K^0,8 = 0,8 * K

Таким чином, середня продуктивність праці в точці рівноваги дорівнює:

APL = Q/L = 0,8 * K / 0,8 * K = 1

Отже, в середньому, кожен працівник дає одиницю продукції при знаходженні фірми в точці рівноваги.

Answer 2

Середня продуктивність праці (Average Productivity of Labor) в даному випадку може бути визначена за допомогою виробничої функції Q = L^0,2 * K^0,8, де Q - виробництво, L - праця, і K - капітал.

У точці рівноваги фірми максимізує свій виробничий вихід при наявності певної кількості праці і капіталу. Це відбувається тоді, коли часткові похідні від виробничої функції по праці та капіталу дорівнюють нулю. Математично це виглядає так:

\[ \begin{align*} \frac{\partial Q}{\partial L} &= 0 \quad \text{(часткова похідна від Q по L)} \\ \frac{\partial Q}{\partial K} &= 0 \quad \text{(часткова похідна від Q по K)} \end{align*} \]

Давайте знайдемо ці часткові похідні:

1. Відносно праці (L): \[ \frac{\partial Q}{\partial L} = 0,2 * L^{-0,8} * K^{0,8} \]

2. Відносно капіталу (K): \[ \frac{\partial Q}{\partial K} = 0,8 * L^{0,2} * K^{-0,2} \]

Тепер встановимо ці вирази рівними нулю і вирішимо відповідні рівняння для L і K.

1. Для праці: \[ 0,2 * L^{-0,8} * K^{0,8} = 0 \]

Звідси отримуємо \(L = 0\), що не є фізично обґрунтованим, тому будемо вважати, що \(L \neq 0\).

2. Для капіталу: \[ 0,8 * L^{0,2} * K^{-0,2} = 0 \]

Звідси отримуємо \(K = \infty\), що також не є фізично обґрунтованим. Тому будемо вважати, що \(K \neq \infty\).

Отже, в точці рівноваги \(L \neq 0\) і \(K \neq \infty\). Тепер можемо знайти середню продуктивність праці (APL - Average Productivity of Labor) в цій точці:

\[ APL = \frac{Q}{L} = L^{0,2} * K^{0,8} / L = L^{-0,8} * K^{0,8} \]

Підставимо значення ціни праці та ціни капіталу:

\[ APL = 7^{-0,8} * 2^{0,8} \]

Обчисліть це значення, і ви отримаєте середню продуктивність праці в точці рівноваги для даної фірми.