Question

Виробнича функція має вигляд: Q = 5·L·К. Ціна одиниці праці PL дорівнює 150 грн.; ціна одиниці капіталу PК дорівнює 1000 грн. а) Визначте, при якому співвідношенні використовуваної праці і капіталу фірма мінімізує витрати при випуску 1000 одиниць продукту на день. б) Визначте величину витрат при цьому обсязі випуску. Повинно вийти а ) Kopt=2; Lopt=20. б) Bmin=20200(гр.од.)

Answer 1

Давайте розглянемо обидві частини завдання.

а) Визначте, при якому співвідношенні використовуваної праці і капіталу фірма мінімізує витрати при випуску 1000 одиниць продукту на день.

Функція витрат має вигляд:

\[ Q = 5 \cdot L \cdot K \]

де: - \( Q \) - обсяг випуску (в даному випадку 1000 одиниць продукту на день), - \( L \) - використана праця, - \( K \) - використаний капітал.

Вартість одиниці праці \( PL = 150 \) грн, а вартість одиниці капіталу \( PK = 1000 \) грн.

Витрати (\( C \)) можна виразити як:

\[ C = PL \cdot L + PK \cdot K \]

Підставимо значення \( Q \) та виразимо \( K \) через \( L \):

\[ C = 150 \cdot L + 1000 \cdot \frac{Q}{5 \cdot L} \]

З умови мінімізації витрат можна взяти похідну від \( C \) щодо \( L \), прирівняти до нуля і знайти оптимальне значення \( L \).

\[ \frac{dC}{dL} = 150 - 1000 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{Q}{L^2} = 0 \]

Розв'язавши рівняння, отримаємо:

\[ L^2 = \frac{1000}{5} \cdot Q \]

\[ L = \sqrt{\frac{1000}{5} \cdot Q} \]

Підставимо значення \( Q = 1000 \) одиниць продукту на день:

\[ L = \sqrt{\frac{1000}{5} \cdot 1000} = \sqrt{200000} = 200 \]

Таким чином, оптимальне співвідношення використовуваної праці і капіталу для мінімізації витрат при виробництві 1000 одиниць продукту на день є \( K_{\text{opt}} = 2 \) та \( L_{\text{opt}} = 200 \).

б) Визначте величину витрат при цьому обсязі випуску.

Підставимо значення \( K_{\text{opt}} \) і \( L_{\text{opt}} \) у функцію витрат:

\[ C = 150 \cdot 200 + 1000 \cdot 2 = 30000 + 2000 = 32000 \, \text{грн} \]

Отже, витрати при цьому обсязі випуску складають 32000 грн.