Question

Найти максимум прибыли монополиста, если известно, что спрос на его продукцию описывается функцией Q = 165 - 0,5 * P и функция общих затрат равна TC = 5500 + 30 * Q + Q

Answer 1

Условием максимизации прибыли компании-монополиста являтся выполнением следующего равенства: MR=MC, где MR - предельный доход, MC - предельные издержки.

1). MR=(TR)' (производная от TR)

TR - выручка, ищется, как TR=P*Q, где P - цена изделия, Q - кол-во изделия в натуральном выражении.

Чтобы рассчитать MR, нужно выразить из функции спроса Q цену P:

Q=165-0,5*P;

0,5P=165-Q;

P=330-2*Q;

TR=P*Q=(330-2*Q)*Q=330*Q-2*Q²

MR=(TR)'=(330*Q-2*Q²)'=330-4*Q

2). MC=(TC)' (производная от TC)

TC - общие затраты фирмы, TC=5500+30*Q+Q=5500+31*Q, по условию

MC=(5500+31*Q)'=31

3). Подставив в равенство максимизации прибыли монополиста MR=MC;

330-4*Q=31

4*Q=299

Q=299/4

P(299/4)=330-2*(299/4)=180,5 (подставили найденное Q в функцию зависимости цены от кол-ва продукции)

4). Теперь зная цену и кол-во продукта, которые максимизируют нашу прибыль, расчитаем ее: Pr=TR-TC, где Pr - прибыль монополиста

TR=P*Q=180,5*(299/4)=13492,375

TC(299/4)=5500+31*(299/4)=7817,25 (подставили найденное Q в функцию общих затрат)

Pr=13492,375-7817,25=5675,125

Ответ: Pr=5675,125.

Answer 2

Чтобы найти максимум прибыли монополиста, мы должны начать с выражения прибыли монополиста и затем найти значение цены (P), при котором прибыль достигает максимума.

Для этого используем следующие формулы:

1. Функция спроса: Q = 165 - 0,5P 2. Функция общих затрат: TC = 5500 + 30Q + Q^2

Прибыль монополиста (π) определяется как разница между выручкой (R) и общими затратами (TC):

π = R - TC

Выручка (R) равна произведению цены (P) на количество проданных товаров (Q):

R = P * Q

Теперь мы можем выразить выручку R и прибыль π через P и Q, а затем определить максимум прибыли:

R = P * Q = P * (165 - 0,5P) R = 165P - 0,5P^2

Теперь найдем производную прибыли по цене P:

dπ/dP = d(165P - 0,5P^2)/dP

dπ/dP = 165 - P

Для нахождения максимума прибыли, приравняем производную к нулю:

165 - P = 0

P = 165

Теперь, когда мы знаем цену, при которой максимизируется прибыль, можем найти соответствующее количество проданных товаров Q:

Q = 165 - 0,5P Q = 165 - 0,5 * 165 Q = 82,5

Теперь мы знаем, что максимум прибыли достигается при цене P = 165 и количестве проданных товаров Q = 82,5.

Чтобы найти максимальную прибыль (π), подставим эти значения в формулу прибыли:

π = R - TC π = (165 * 82,5) - (5500 + 30 * 82,5 + 82,5^2)

Вычислите это выражение, чтобы найти максимальную прибыль монополиста.