Question

Какая первая цифра в шестнадцатеричной записи числа 2^1024 + 2^1025? Если возможно, объясните, пожалуйста, как получили.

Answer 1

Первая цифра в записи будет 3.
Изменение цифр происходит так:
2^0 = 1
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8
2^4 = 10
2^5 = 20
2^6 = 40
2^7 = 80
и так далее.
Степень 1024 кратна 4-м, поэтому число будет начинаться с 1. Следующая степень 1025 будет начинаться с 2.
А их сумма, соответственно, 3.

Answer 2

Чтобы определить первую цифру в шестнадцатеричной записи числа \(2^{1024} + 2^{1025}\), давайте сначала посчитаем это значение.

Используя свойство степеней двойки, \(2^{1024} + 2^{1025}\) можно представить как:

\[2^{1024} + 2^{1025} = 2^{1024} \cdot (1 + 2) = 2^{1024} \cdot 3\]

Теперь давайте вычислим значение \(2^{1024} \cdot 3\):

\[2^{1024} = \text{очень большое число, состоящее из 309 цифр}\] \[2^{1024} \cdot 3 = 3 \cdot 2^{1024} = \text{очень большое число, умноженное на 3}\]

Это число слишком большое, чтобы его точно записать или вычислить в десятичной или шестнадцатеричной системе счисления. Однако, нам не требуется точное значение, чтобы определить первую цифру в шестнадцатеричной записи.

Мы знаем, что шестнадцатеричная система счисления использует числа от 0 до 15. Таким образом, первая цифра числа в шестнадцатеричной записи определяется наибольшим значащим разрядом числа \(2^{1024} \cdot 3\).

Чтобы найти этот разряд, мы можем использовать логарифмы. Логарифм по основанию 16 от \(2^{1024} \cdot 3\) даст нам приблизительное количество шестнадцатеричных цифр этого числа. Для нахождения наибольшего значащего разряда приблизим значение \(2^{1024} \cdot 3\).

\[\log_{16}(2^{1024} \cdot 3) \approx \log_{16}(2^{1024}) = 1024 \cdot \log_{16}(2)\]

\(\log_{16}(2)\) — это значение, которое показывает, сколько раз нужно возвести 16 в степень, чтобы получить \(2\).

Приближенное значение \(\log_{16}(2)\) около \(0.25\) (это значит, что \(16^{0.25} \approx 2\)).

Теперь, умножим \(1024\) на \(0.25\):

\[1024 \cdot 0.25 = 256\]

Это означает, что число \(2^{1024} \cdot 3\) в шестнадцатеричной системе будет иметь примерно \(256\) значащих цифр.

Следовательно, первая цифра в шестнадцатеричной записи числа \(2^{1024} \cdot 3\) будет зависеть от степени числа \(2^{1024} \cdot 3\) и в итоге будет \(3\) (так как \(3 \cdot 16^{255}\) является наибольшим числом меньше, чем \(2^{1024} \cdot 3\)).

Таким образом, первая цифра в шестнадцатеричной записи числа \(2^{1024} + 2^{1025}\) равна \(3\).