Question

Андрей задумал натуральное число такое, что его запись в шестеричной системе счисления имеет ровно четыре значащих разряда. Он оставил своей сестре Оле 3 подсказки: 1. Две первые цифры записи этого числа в шестеричной системе являются одинаковыми между собой, и две последние цифры также одинаковые между собой. 2. Две первые цифры отличны от последних двух цифр. 3. Число является полным квадратом, то есть оно является квадратом некоторого целого числа. Помогите девочке определить задуманное её братом число. В ответе укажите это четырёхзначное число в шестеричной системе счисления без каких-либо знаков препинания, например, 1234

Answer 1

В шестеричной системе алфавит состоит из цифр 0,1,...5.
Четырехразрядное число по условиям задания (1) и (2) имеет вид aabb,
где a=1,2,...5, b=0,1,...5.
В развернутой записи число имеет вид
a×6³+a×6²+b×6+b×1 = 6²×a(6+1)+b(6+1) = 7(36a+b)
При этом по условию (3) можно записать, что k² = 7(36a+b)
Чтобы число 7(36a+b) было полным квадратом, 36a+b должно быть кратно 7, а остаток от деления (36a+b) на 7 также должен быть полным квадратом.
Получаем, что 36a+b = 7m²
Минимальное значение 36a+b равно 36×1+0 = 36, следовательно m>2 (при m=2 получим 7×4=28, что меньше 36).
При m=3 получаем 36a+b = 63 и при a∈[1;5], b∉[0;5] решений нет.
При m=4 получаем 36a+b = 112 и находим a=3, b=4 - есть решение!
При m=5 получаем 36a+b = 175 и при a∈[1;5], b∉[0;5] решений нет.
При m=6 получаем 36a+b = 175 и получаем, что a=7, а это недопустимо. Дальше смысла проверять нет.
Итак, a=3, b=4, число 3344₆ = 7×(36×3+4) = 784₁₀ = 28²

Ответ: 3344

Answer 2

To determine the four-digit number that Andrey has in mind, we can analyze the given hints:

1. The first two digits of the number in the base-6 system are the same, and the last two digits are also the same. 2. The first two digits are different from the last two digits. 3. The number is a perfect square, meaning it is the square of an integer.

Let's break down each hint and find the number that satisfies all the conditions.

Hint 1: The first two digits of the number in the base-6 system are the same, and the last two digits are also the same.

This means that the number can be represented as AABB in base-6, where A and B are digits in the range of 0 to 5.

Hint 2: The first two digits are different from the last two digits.

Since the first two digits are the same and different from the last two digits, we can conclude that A ≠ B.

Hint 3: The number is a perfect square.

To find the perfect square that satisfies the conditions, we can start by checking the squares of numbers from 1 to 5 in base-6:

- 1^2 = 1 (in base-6: 01) - 2^2 = 4 (in base-6: 04) - 3^2 = 9 (in base-6: 13) - 4^2 = 16 (in base-6: 24) - 5^2 = 25 (in base-6: 35)

Out of these options, only the number 16 (in base-6: 24) satisfies all the given conditions.

Therefore, the four-digit number that Andrey has in mind, in the base-6 system, is 2424.

Please let me know if there's anything else I can help you with!