Question

Элементами множества A являются натуральные числа. Известно, что выражение (x ∈ {2,4,8,12,15}) → (¬(x ∈ {3,6,8,15}) ∨ (x ∈ A)) истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение произведения элементов множества

Answer 1

Обозначения:

B=x∈{2,4,8,12,15}

C=x∈{3,6,8,15}

A=x∈A

----------------------------------------------------------

B→¬C+A=1

(¬B+¬C)+A=1                       (формула А+¬А=1)

¬B+¬C=¬A

А=¬(¬В+¬С)                       (формула ¬(А+В)=¬А*¬В)

А=В*С  --->      {2,4,8,12,15} * {3,6,8,15} ={8,15}   <----- ответ

Answer 2

Для того чтобы выражение было истинным для любого значения переменной x, значит выражение в скобках (x ∈ {2,4,8,12,15}) → (¬(x ∈ {3,6,8,15}) ∨ (x ∈ A)) должно быть истинным для всех возможных комбинаций x из множеств {2,4,8,12,15} и {3,6,8,15}.

Давайте рассмотрим каждое значение x из {2,4,8,12,15} и проверим, какие значения A могут сделать выражение истинным:

1. Пусть x = 2. Тогда выражение (2 ∈ {2,4,8,12,15}) → (¬(2 ∈ {3,6,8,15}) ∨ (2 ∈ A)) должно быть истинным. Подходящими значениями A в этом случае являются любые натуральные числа, так как исходное выражение и так истинно.

2. Пусть x = 4. Аналогично, подходящими значениями A в этом случае являются любые натуральные числа.

3. Пусть x = 8. Здесь также подходят любые натуральные числа для множества A.

4. Пусть x = 12. Также, любые натуральные числа подходят для A.

5. Пусть x = 15. Аналогично, любые натуральные числа могут быть частью множества A.

Исходя из вышеуказанных рассуждений, наименьшее возможное значение произведения элементов множества A будет достигнуто, когда A содержит только натуральные числа {1, 2, 3, 4, ...}, то есть минимальное значение произведения элементов множества A равно 1 * 2 * 3 * 4 * ... = 1.