Question

Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Например, 14&5 = 11102&01012 = 01002 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула x&25 ≠ 0 → (x&19 = 0 → x&А ≠ 0) тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)?

Answer 1

25 (10cc) =2^4+2^3+2^0 =11001 (2cc)
19 (10cc)=2^4+2^1+2^0=10011 (2cc)
-----------------------------------------------------
используя формулу А→В =¬А+В приводим данную формулу в условии к виду:
(X&25=0)+(X&19≠0) + (Х&A≠0)=1

рассмотрим случай, когда
(Х&25 =0) +(X&19≠0) =0   и  (Х&A≠0)=1
-------------------------------------------------------------------------------------------------
так как 25 = 11001, то (X&25=0) = 0   (т.е. конъюнкция будет "ложь")
при Х={1; 1000; 1001;  10000; 10001; 11000; 11001}

так как 19=10011, то (Х&19≠0) = 0 при
X={100; 1000;  1100}
                   общее значение : Х=1000 (2сс) = 8 (10сс)
------------------------------------------------------------------------------------------------
ответ 8

Answer 2

Давайте разберемся с условием задачи и найдем такое наименьшее неотрицательное целое число A, для которого данная формула будет тождественно истинной.

У нас есть следующая формула: x & 25 ≠ 0 → (x & 19 = 0 → x & A ≠ 0)

Для того чтобы формула была тождественно истинной, она должна выполниться для любого неотрицательного целого значения переменной x.

Давайте рассмотрим подформулу внутри скобок: (x & 19 = 0 → x & A ≠ 0). Эта подформула имеет вид импликации (условие → результат). Рассмотрим все возможные случаи для этой импликации:

1. Когда условие (x & 19 = 0) истинно (т.е., x & 19 равно 0), тогда результат (x & A ≠ 0) должен быть истинным. Это означает, что любое x, которое удовлетворяет x & 19 = 0, также должно удовлетворять x & A ≠ 0.

2. Когда условие (x & 19 = 0) ложно (т.е., x & 19 не равно 0), тогда результат (x & A ≠ 0) может быть как истинным, так и ложным, и это нам не поможет в определении значения A.

Таким образом, чтобы подформула (x & 19 = 0 → x & A ≠ 0) была тождественно истинной, необходимо, чтобы любое x, удовлетворяющее x & 19 = 0, также удовлетворяло x & A ≠ 0.

Теперь рассмотрим начальное условие x & 25 ≠ 0. Это означает, что мы ищем такие x, для которых x & 25 равно ненулевому значению. Подходящие значения x включают все ненулевые числа (1, 2, 3, ...), так как ноль не подходит.

Теперь, чтобы найти такое наименьшее неотрицательное целое число A, которое удовлетворяет данной формуле, нужно найти минимальное целое число, которое делится на 19 и не делится на 25.

Наименьшее такое число - это НОК (наименьшее общее кратное) чисел 19 и 25, то есть НОК(19, 25) = 475.

Таким образом, для того чтобы формула была тождественно истинной, наименьшее неотрицательное целое число A равно 475.