Question

В системе счисления с некоторым основанием десятичное числр 85 записывается в виде 151 . Укажите это основаниё. Пожалуйста объясните как решается.

Answer 1

Число 151 с основанием x, равно 85 с основанием 10

Составим уравнение:

1*x²+5*x+1=85

x²+5x-84=0

D=25+4*84=2436

Уравнение имеет два корня:

x1=(-5+√2436)/(2*1)=(-5+19)/2=7

x2=(-5-√2436)/(2*1)=(-5-19)/2=-24/2=-12

Основание положительное: 7

151 это запись числа 85 в "семеричной" системе счисления (основание 7)

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать метод перевода числа из десятичной системы счисления в систему с некоторым основанием.

Для начала разберем, как записать число 85 в системе счисления с неизвестным основанием. Для этого представим число 85 как сумму степеней основания:

85 = a * основание^2 + b * основание^1 + c * основание^0

Здесь a, b и c - цифры в новой системе счисления (в десятичной системе счисления они будут находиться в диапазоне от 0 до (основание - 1)).

Теперь перейдем к числу 151 в новой системе счисления:

151 = 1 * основание^2 + 5 * основание^1 + 1 * основание^0

Теперь мы знаем два уравнения:

85 = a * основание^2 + b * основание^1 + c * основание^0 151 = 1 * основание^2 + 5 * основание^1 + 1 * основание^0

Нам нужно найти это основание. Для этого вычтем из второго уравнения первое:

151 - 85 = (1 * основание^2 + 5 * основание^1 + 1 * основание^0) - (a * основание^2 + b * основание^1 + c * основание^0)

Теперь упростим:

66 = (1 - a) * основание^2 + (5 - b) * основание^1 + (1 - c) * основание^0

Теперь заметим, что числа a, b и c находятся в диапазоне от 0 до (основание - 1), что значит, что (1 - a), (5 - b) и (1 - c) также будут находиться в этом же диапазоне.

Теперь нам нужно найти основание, при котором число 66 можно представить в виде суммы трех степеней этого основания с коэффициентами из диапазона от 0 до (основание - 1).

Существует несколько возможных вариантов основания, при которых это выполняется. Но так как в задаче сказано, что 85 записывается в новой системе счисления как 151, мы ищем минимальное возможное основание, при котором это выполняется.

Таким образом, основание для новой системы счисления равно 7. Проверим:

85 = 1 * 7^2 + 5 * 7^1 + 1 * 7^0 = 49 + 35 + 1 = 85 151 = 1 * 7^2 + 5 * 7^1 + 1 * 7^0 = 49 + 35 + 1 = 85

Получается, что при основании 7 число 85 записывается в новой системе счисления как 151.