Question

Всегда ли верно высказывание (А v ¬A) → (B & ¬B)? Почему?

Answer 1

для удобства заменим знаки на более привычные:

v - сложение

& - умножение

получим:

(A+(¬A))=>(B*(¬B))

(A+(¬A))=1 - значение этого выражения всегда истинно.

(B*(¬B))=0 - значение этого выражения всегда ложно.

таблица истинности импликации:

A B (A=>B)

0 0     1

0 1      1

1 0      0

1 1       1

В данной задаче получается:

1=>0 - значение этого выражения всегда ложно.

Ответ: нет

Answer 2

Высказывание (А v ¬A) → (B & ¬B) всегда верно и обозначается как принцип исключения третьего (Principle of Excluded Middle) в логике. Этот принцип гласит, что для любого утверждения A верно или само утверждение A, или его отрицание (¬A), не может быть никаких других вариантов. В других словах, утверждение A или его отрицание обязано быть истинным.

Таким образом, в данном случае (A v ¬A) будет всегда истинно, потому что оно утверждает, что утверждение A или его отрицание обязано быть истинным, и это соответствует принципу исключения третьего. Теперь рассмотрим (B & ¬B). Это выражение говорит о том, что утверждение B и его отрицание ¬B оба должны быть истинны одновременно. Такое утверждение невозможно, так как оно противоречит друг другу: не может быть одновременно истинным, что что-то есть и нет одновременно.

Итак, чтобы выражение (А v ¬A) → (B & ¬B) было истинным, правая сторона выражения (B & ¬B) должна быть истинна. Но так как (B & ¬B) никогда не может быть истинным, выражение (А v ¬A) → (B & ¬B) всегда верно.