Question

Два игрока, Павел и Вениамин, играют в игру: перед ребятами лежат две кучи камней. Ребята ходят по очереди, первый ход делает Павел. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) два камня или увеличить количество камней в куче в три раза. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 20. Победителем считается игрок, сделавший последний ход. Укажите, кто из ребят имеет выигрышную стратегию, если изначально в 2 кучах (2; 3) камней?

Answer 1

Ответ:Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче  

6

6

камней, а в другой  

9

9

камней; такую позицию мы будем обозначать  

(6, 9)

(6,9)

. За один ход из позиции  

(6, 9)

(6,9)

можно получить любую из четырёх позиций:  

(7, 9)

(7,9)

,  

(12, 9)

(12,9)

,  

(6, 10)

(6,10)

,  

(6, 18)

(6,18)

. Чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.

Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее  

74

74

. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший позицию, в которой в кучах будет  

74

74

или больше камней.

В начальный момент в первой куче было  

12

12

камней, во второй куче –  

S

S

камней,  

1 \leq S \leq 61

1≤S≤61

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим данную игру. Изначально у нас есть две кучи камней: первая куча содержит 2 камня, а вторая куча содержит 3 камня. Цель игры состоит в том, чтобы добиться того, чтобы суммарное количество камней в кучах стало не менее 20.

Мы можем проанализировать эту игру, рассмотрев различные ходы и их результаты:

1. Павел добавляет 2 камня в первую кучу: (4; 3).
2. Вениамин увеличивает вторую кучу в 3 раза: (4; 9).
3. Павел увеличивает вторую кучу в 3 раза: (4; 27).
4. Вениамин добавляет 2 камня в первую кучу: (6; 27).
5. Павел увеличивает вторую кучу в 3 раза: (6; 81).

Мы видим, что игроки чередуются между добавлением 2 камней в одну из куч и увеличением кучи в 3 раза. При этом количество камней во второй куче быстро увеличивается, в то время как количество камней в первой куче увеличивается медленнее.

Обратим внимание на то, что первая куча может содержать только чётное количество камней, так как при добавлении 2 камней к чётному числу получается чётное число. Следовательно, невозможно добиться того, чтобы первая куча содержала нечётное число камней.

Таким образом, в конечном итоге, количество камней во второй куче будет экспоненциально расти, а первая куча будет оставаться чётной. Как только во второй куче будет достигнуто или превышено 20 камней, игрок, сделавший предыдущий ход, может выбрать добавить 2 камня в первую кучу и победить в игре.

Следовательно, выигрышная стратегия есть у Вениамина.