Question

Помогите решить задачу. По итогам экзаменов из 37 студентов оценку "отлично" по экономике получили 15 человек, по физике - 16, по психологии - 19, по экономике и физике - 7, по экономике и психологии - 9, по физике и психологии - 6. "Отлично" по всем трём предметам получили 4 студента. Сколько студентов получили хотя бы по одной оценке "отлично"?

Answer 1

Ответ:

хотя бы одна отлично = Ф+П+Э - ЭФ - ЭП - ФП + ФПЭ

хотя бы одна отлично = 15 + 16 + 19 - 7 - 9 - 6 + 4 = 32

Answer 2

Давайте воспользуемся принципом включения-исключения для решения этой задачи. Принцип включения-исключения гласит, что для вычисления размера объединения нескольких множеств, нужно сложить размеры каждого множества, затем вычесть размеры их пересечений, затем добавить размеры пересечений всех возможных пар и так далее.

Пусть:

• A - множество студентов, получивших "отлично" по экономике.
• B - множество студентов, получивших "отлично" по физике.
• C - множество студентов, получивших "отлично" по психологии.

Мы хотим найти количество студентов, получивших хотя бы по одному предмету "отлично", то есть размер объединения множеств A, B и C.

Известно:

• |A| = 15 (по экономике "отлично" получили 15 студентов).
• |B| = 16 (по физике "отлично" получили 16 студентов).
• |C| = 19 (по психологии "отлично" получили 19 студентов).
• |A ∩ B| = 7 (по экономике и физике "отлично" получили 7 студентов).
• |A ∩ C| = 9 (по экономике и психологии "отлично" получили 9 студентов).
• |B ∩ C| = 6 (по физике и психологии "отлично" получили 6 студентов).
• |A ∩ B ∩ C| = 4 (по всем трём предметам "отлично" получили 4 студента).

Теперь мы можем использовать формулу включения-исключения:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Подставляя известные значения:

|A ∪ B ∪ C| = 15 + 16 + 19 - 7 - 9 - 6 + 4 = 32

Итак, 32 студента получили хотя бы по одной оценке "отлично".