Question

Объём сообщения, содержащего 11264 символа, равен 11 Кбайт. Определите максимальную мощность алфавита, который мог быть использован для кодирования этого сообщения? Какова минимальная мощность алфавита, использования которого привело к такому же информационному объёму закодированного сообщения?

Answer 1

k = 11264

I = 11 Кбайт = 90112 Бит

I = k * i

N = 2 ** i

I = k * i

i = 90112 / 11264 = 8

N = 2 ** 8 = 256

Максимальная мощность - 256.

Не понимаю сути вопроса о минимальной мощности алфавита.

Как мы можем изменив вес одного символа, но не изменив количество символов оставить тот же информационный объём.

Если мы возьмём i = 9, то у нас будет I = 9 * 11264 = 101376 Бит, что больше нашего объёма. Окей, давай попробуем на 1 меньше.

i = 7, I = 7 * 11264 = 78848 Бит, теперь у нас объём стал меньше.

Можем сделать вывод, если мы уменьшим i, то уменьшиться и объём, а если увеличим, то и объём увеличится.

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать формулу Шеннона для вычисления энтропии сообщения:

$H = -\sum_{i=1}^{n} p_i \cdot \log_2(p_i)$

где $p_i$ - вероятность появления символа $i$ в сообщении, $n$ - количество символов в алфавите.

Мы знаем, что объём сообщения составляет 11 Кбайт, что равно 11264 байтам. Также известно, что максимально возможное значение для одного символа - 8 бит (1 байт).

Таким образом, максимальная мощность алфавита будет равна $2^8 = 256$, так как это количество различных значений, которые можно закодировать на 8 битах.

Для минимальной мощности алфавита, при которой информационный объём останется тем же, мы можем воспользоваться формулой Хартли:

$H = \log_2(N)$

где $N$ - количество различных состояний или символов в алфавите. В данном случае, нам известно, что $H = \frac{11264}{8192}$, так как 11264 бита (11264 символа по 1 биту) равны 11 Кбайт, что в свою очередь равно 8192 битам.

Решая уравнение $\frac{11264}{8192} = \log_2(N)$, мы найдём, что $N \approx 1.455$. Так как мы не можем иметь доли символов в алфавите, мы округлим это значение до ближайшего большего целого числа. Следовательно, минимальная мощность алфавита для такого же информационного объёма составит 2 символа.