Question

Упростить логическое выражение: 1) A+B+!A 2)(A#B)+(A#!B) 3)(A+B)#(A+C) ! - отрицание (не) + - дизъюнкция (или) # - исключающее или, сумма по модулю 2 (XOR) (Заранее спасибо большое)

Answer 1

$A+B+\lnot A=(A+\lnot A)+B=1+B=1$

(закон исключенного третьего: $A+\lnot A=1$; операция с константой: $1+B=1$)

$(A\oplus B)+(A\oplus\overline B)=A\overline B+\overline AB+AB+\overline A\cdot \overline B=\\=(A\overline B+AB)+(\overline A B+\overline A\cdot\overline B)=A(B+\overline B)+\overline A(B+\overline B)=A+\overline A=1$

(заменяю $x\oplus y$ на $x\overline y+\overline xy$; дальше, пользуясь сочетательным и распределительным законами и законом двойного отрицания, применяю закон исключенного третьего)

$(A+B)\oplus(A+C)=(A+B)\cdot\overline{A+C}+\overline{A+B}\cdot(A+C)=\\=(A+B)\cdot\overline A\cdot\overline C+(A+C)\cdot\overline A\cdot\overline B=\\=(A\overline A)\cdot\overline C+\overline A\cdot B\cdot\overline C+(A\overline A)\cdot \overline B+\overline A\cdot \overline B\cdot C=\overline A\cdot B\cdot\overline C+\overline A\cdot \overline B\cdot C=\\=\overline A(B\overline C+\overline B C)=\overline A(B\oplus C)$

(всё вышеперечисленное, только добавляю законы де Моргана для раскрытия скобок $\overline{x+y}=\overline x \cdot\overline y$)

Answer 2

Давайте упростим каждое из данных логических выражений по отдельности:

1. A + B + !A

В данном выражении у нас есть переменная A и её отрицание !A. Так как A и !A исключают друг друга (одновременно не могут быть истинными), выражение можно упростить до:

A + B

2. (A # B) + (A # !B)

В данном выражении у нас есть два слагаемых, и каждое из них содержит операцию XOR (#). Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

Слагаемое 1: A # B Слагаемое 2: A # !B

Помните, что XOR возвращает истину (1), когда количество истинных операндов равно нечетному числу. В случае XOR с двумя операндами, результат будет истиной (1), если операнды различаются (один истинен, а другой - ложен).

Слагаемое 1: A # B - это истинное значение, когда A и B различаются. Слагаемое 2: A # !B - это истинное значение, когда A и !B различаются, что эквивалентно A и B различаются.

Исходя из этого, оба слагаемых в данном выражении эквивалентны, и выражение можно упростить до:

A # B

3. (A + B) # (A + C)

В данном выражении у нас есть два слагаемых, и каждое из них содержит операцию дизъюнкции (+). Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности:

Слагаемое 1: A + B Слагаемое 2: A + C

Оба слагаемых - это истинное значение, если хотя бы один из операндов истинен.

Исходя из этого, результат операции исключающего или (#) для этих двух слагаемых будет истинным, так как они различаются (одно содержит B, а другое - C).

Таким образом, выражение можно упростить до:

(A + B) # (A + C)

В итоге, упрощенные логические выражения:

1. A + B
2. A # B
3. (A + B) # (A + C)