Question

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А (3x + 5y меньше А) дизъюнкция( x больше или равно y)дизъюнкция ( y больше 8)тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Answer 1

Ответ:

Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение

 

(3x + 5y < A) ∨ (x ≥ y) ∨ (y > 8)

 

тождественно истинно, т. е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

Решение.

Решим задачу графически. Условия (x ≥ y) и (y > 8) задают множество, отмеченное на рисунке закрашенной областью. Чтобы исходное выражение было тождественно истинно для любых целых и неотрицательных x и y, прямая 3x + 5y = A должна проходить выше точки (8; 7). Таким образом, наименьшее целое неотрицательное А, удовлетворяющее условию задачи — это A равное 62.

 

Приведем аналитическое решение.

Если истинно одно из выражений (x ≥ y) или (y > 8), то выражение (3x + 5y < A) ∨ (x ≥ y) ∨ (y > 8) истинно независимо от значения А.

Если же оба выражения (x ≥ y) и (y > 8) ложны, то есть при выполнении условий (x < y) и (y ≤ 8), выражение 3x + 5y < A должно быть истинным.

Найдем максимально возможное значение выражения 3x + 5y при выполнении условий (x < y) и (y ≤ 8).

Заметим, что для целых чисел неравенство (x < y) равносильно неравенству (x ≤ y-1). Тогда

 

3x+5y ≤ 3(y-1) + 5y = 8y – 3 ≤ 64 – 3 = 61.

 

Таким образом, должно выполняться условие 61<А, откуда А=62.

 

Ответ: 62.

Объяснение:

Answer 2

Давайте рассмотрим условие по частям.

1. Начнем с условия (3x + 5y < A). Если хотим, чтобы это условие было истинным для любых целых неотрицательных x и y, то нужно выбрать минимальное значение A, которое будет удовлетворять этому неравенству.

2. Затем рассмотрим условие (x ≥ y). Это неравенство гарантирует, что x будет больше или равно y.

3. Наконец, рассмотрим условие (y > 8). Это неравенство гарантирует, что y будет больше 8.

Теперь объединим все эти условия:

• Если (3x + 5y < A) и (x ≥ y) и (y > 8), то условие будет истинным.

Теперь мы хотим найти наименьшее целое неотрицательное значение A, которое делает это условие истинным. Для этого давайте приступим к выбору A.

Сначала попробуем A = 3x + 5y, чтобы удовлетворить первое неравенство. Затем мы должны удовлетворить два других условия: (x ≥ y) и (y > 8).

• Если x = 9 и y = 8, то 3x + 5y = 39 + 58 = 27 + 40 = 67, что больше 8 и удовлетворяет обоим оставшимся условиям.

Таким образом, наименьшее целое неотрицательное значение A, при котором данное условие истинно для любых целых неотрицательных x и y, равно A = 67.